Biết rằng \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right) = \frac{a}{b},\] với \(a,b > 0\), \((a,b) = 1\).

Khi đó, giá trị của biểu thức \[S = ab\] bằng:

Phương pháp giải:

Thêm bớt các đại lượng để sử dụng phương pháp liên hợp.

Giải chi tiết:

Ta có:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right)\]

           \[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - 3n - (\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} - 3n)} \right).\]

Xét từng giới hạn.

\textbf{Giới hạn thứ nhất:}

\[\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - 3n = \frac{{9{n^2} + 5n + 4 - {{(3n)}^2}}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}} = \frac{{5n + 4}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \(n\):

       \[ = \frac{{5 + \frac{4}{n}}}{{\sqrt {9 + \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} + 3}} \Leftrightarrow \frac{5}{{3 + 3}} = \frac{5}{6}.\]

\textbf{Giới hạn thứ hai:}

      \[\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} - 3n = \frac{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8 - {{(3n)}^3}}}{{{{(\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}})}^2} + 3n\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + {{(3n)}^2}}}.\]

         \[ = \frac{{4{n^2} + 9n + 8}}{{{{(\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}})}^2} + 3n\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + 9{n^2}}}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\):

                \[ = \frac{{4 + \frac{9}{n} + \frac{8}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}}} \right)}^2} + 3\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}} + 9}}.\]

Lấy giới hạn:

                   \[ \Leftrightarrow \frac{4}{{{3^2} + 3 \cdot 3 + 9}} = \frac{4}{{27}}.\]

Vậy:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{4}{{27}} = \frac{{37}}{{54}}.\]

Suy ra:

                                      \[a = 37,\quad b = 54 \Rightarrow S = ab = 1998.\]