Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn \(10{\mkern 1mu} 000\). Xác suất để số được chọn không chia hết cho cả 3, 5 và 7 là \[\frac{a}{b} (b > a > 0,\;(a,b) = 1).\] Tính giá trị của biểu thức \[T = b - 2a\]

(nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  ____

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng xác suất.

Giải chi tiết:

Gọi:

  \[{A_1} = \{ {\rm{s? chia h?t cho }}3\} ,\quad {A_2} = \{ {\rm{s? chia h?t cho }}5\} ,\quad {A_3} = \{ {\rm{s? chia h?t cho }}7\} .\]

Xác suất cần tìm là:

             \[P(\overline {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} ) = 1 - P({A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}).\]

Trong các số nguyên dương không vượt quá \(10{\mkern 1mu} 000\):

  \[\left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{3}} \right\rfloor = 3333,\quad \left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{5}} \right\rfloor = 2000,\quad \left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{7}} \right\rfloor = 1428,\]

               \[\left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{{15}}} \right\rfloor = 666,\quad \left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{{21}}} \right\rfloor = 476,\quad \left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{{35}}} \right\rfloor = 285,\]

                  \[\left\lfloor {\frac{{10{\mkern 1mu} 000}}{{105}}} \right\rfloor = 95.\]

Do đó:

           \[|{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}| = 3333 + 2000 + 1428 - 666 - 476 - 285 + 95 = 5429.\]

Số phần tử không chia hết cho $3,5,7$ là:

                                              \[10{\mkern 1mu} 000 - 5429 = 4571.\]

Suy ra xác suất:

                               \[\frac{a}{b} = \frac{{4571}}{{10{\mkern 1mu} 000}}.\]

Do đó:

                               \[T = b - 2a = 10{\mkern 1mu} 000 - 2 \cdot 4571 = 858.\]