Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ.

Biết rằng hai đáy ABCD và A'B'C'D' là hai đa giác đồng dạng với

                   \[\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{5}{2},\qquad {S_{ABCD}} = 10{a^2}.\]

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là $4a$.

Thể tích của khối chóp cụt ABCD.A'B'C'D' là:

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp cụt.

Giải chi tiết:

Thể tích hình chóp cụt được tính bởi công thức:

                  \[V = \frac{1}{3}h\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right),\]

trong đó \({S_1},{S_2}\) là diện tích hai đáy và \(h\) là chiều cao.

Do hai đáy đồng dạng nên:

             \[\frac{{{S_{A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\frac{{A'B'}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} = \frac{4}{{25}}.\]

Suy ra:

                   \[{S_{A'B'C'D'}} = \frac{4}{{25}} \cdot 10{a^2} = \frac{8}{5}{a^2}.\]

Thay vào công thức thể tích với \(h = 4a\):

     \[V = \frac{1}{3} \cdot 4a\left( {10{a^2} + \frac{8}{5}{a^2} + \sqrt {10{a^2} \cdot \frac{8}{5}{a^2}} } \right).\]

                 \[V = \frac{{4a}}{3}\left( {10{a^2} + \frac{8}{5}{a^2} + 4{a^2}} \right) = \frac{{4a}}{3} \cdot \frac{{78}}{5}{a^2} = \frac{{104}}{5}{a^3}.\]