Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A.\] Trên tia đối của ti \[BC\] lấy điểm \[D\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[E\] sao cho \[BD = CE\]. Kẻ \[BH \bot AD\] tại \[H,\] \[CK \bot AE\] tại \[K\]. Gọi \[M\] là giao điểm của \[AI,\,\,\,DE;\] \[I\] là giao của \[BH\] và \[CK\].

Khi đó:

a) Sai.

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\]

\[BD = CE\] (gt)

\[AB = AC\] (gt)

Suy ra \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

Do đó, \[\widehat D = \widehat E\].

Xét hai tam giác vuông \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:

\[\widehat D = \widehat E\] (cmt)

\[BD = CE\] (gt)

Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Sai.

Ta có: \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)

Lại có: \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].

Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng)

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:

\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt);

\[AD = AE\]

\[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\]

Do đó, \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)

d) Đúng.

Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].

Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).

Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].

Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]