Chọn một hoặc nhiều đáp án đúng.

Trong toán học, chữ cái Hy Lạp \(\prod \) thể hiện tích của một phép toán nhiều hạng tử.

Chẳng hạn như \(\prod\limits_{k = 1}^n {({k^3})} = {1^3} \cdot {2^3} \cdot {3^3} \cdot {4^3} \ldots {n^3}\).

Giải chi tiết:

a) \(\prod\limits_{n = 1}^{1000} {(n)} - A_{1000}^{999} = 1.2.3 \ldots 1000 - \frac{{1000!}}{{(1000 - 999)!}} = 1000! - \frac{{1000!}}{{1!}} = 1000! - 1000! = 0\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

b) \(\prod\limits_{k = 1}^{200} {(k)} = 1.2.3 \ldots 200 = 200!\)

Số chữ số \(0\) tận cùng của 200! được tính bằng số thừa số \(5\) trong phân tích nguyên tố:

 Số các số chia hết cho \(5\) là: \(200:5 = 40\)

Số các số chia hết cho 25 là: \(200:25 = 8\)

Số các số chia hết cho 125 là: \(200:125 = 1\) (lấy phần nguyên)

Tổng số chữ số \(0\) tận cùng là: \(40 + 8 + 1 = 49\).

Vậy \(\prod\limits_{k = 1}^{200} {(k)} \) chia hết cho \({10^{49}}\). \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

c) \(\sum\limits_{n = 1}^{2025} {\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {(k)} } \right)} = \sum\limits_{n = 1}^{2025} {(n!)} = 1! + 2! + 3! + \ldots + 2025!\) \\

Ta có:

 \(1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33\) (tận cùng là \(3\))

Với \(n \ge 5\), n! luôn có chữ số tận cùng là \(0\).

Vậy tổng \(1! + 2! + \ldots + 2025!\) có chữ số tận cùng là \(3 + 0 = 3\).

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.