Cho phương trình \(\sin x + \sin 5x = 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)\). Tính diện tích của đa giác tạo thành bởi các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác?

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác tìm các nghiệm và biểu diễn đa giác là lục giác đều cạnh \(1\).

    Công thức tính diện tích lục giác đều cạnh \(a\) là \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2}\).

Giải chi tiết:

Ta có hệ thức hạ bậc:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 1 + \sin 2x}\\{2{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) = 1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 4x} \right) = 1 - \sin 4x}\end{array}} \right.\)

Do đó phương trình tương đương với:

\(\sin x + \sin 5x = \sin 2x + \sin 4x\)

\( \Leftrightarrow 2\sin 3x \cdot \cos 2x = 2\sin 3x \cdot \cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 3x = 0\cos 2x = \cos x \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{3}x = k2\pi \\x = \frac{{k2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{3} = \frac{{k2\pi }}{6}\quad (k \in \mathbb{Z})\end{array}\)

Vậy có \(6\) điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác, chúng tạo thành hình lục giác đều có cạnh bằng \(1\).

Suy ra diện tích đa giác là:

\(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D