Cho phương trình \(\sin x + \sin 5x = 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)\). Tính diện tích của đa giác tạo thành bởi các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác?

Điền số thích hợp vào chỗ trống.

Một quả bóng hình cầu có bán kính \(r\) đang được treo trong một góc của tường nhà (như hình vẽ) hai tia Ox, Oy hợp với nhau một góc ${120}^{°}$, một điểm \(B\) cố định nằm trên mép của hai bờ tường và cách mặt đất 80 cm, sợi dây treo bóng có độ dài \(AB = 30\) cm và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm \(B\) với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm . Đường kính quả bóng là _______ milimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

[ 344 ]

Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với \(O\) là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng \((Oxy)\) là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp ADD thuộc trục Oz và điểm \(A\) thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm \(D\) là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227m, điểm \(A\) cách mặt nước 75m và cách trục Oz 343m. Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm \(N\) trên dây cáp AD và điểm \(M\) trên thành cầu, biết \(M\) cách mặt nước 75m và MN song song với cột trụ. Độ dài MN song song với cột trụ, M cách trục Oz một khoảng bằng 230m

Đáp án cần điền là: _____

Điền số thích hợp vào chỗ trống.

Bạn Hoa chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \) và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Bạn Bình chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \) và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Xác suất số của Hoa lớn hơn số của Bình là _____ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).