Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A( - 2;3;1)\), \(B(2;1;0)\), \(C( - 3; - 1;1)\). Biết tọa độ điểm \(D(x;y;z)\) sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và \({S_{ABCD}} = 3{S_{\Delta ABC}}\). Tính \(x + 2y + 3z\).

Phương pháp giải:

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot d(A,BC)\)và \({S_{ABCD}} = 3{S_{\Delta ABC}}\) suy ra \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} \).

Sử dụng vectơ tìm tọa độ \(D\).

Giải chi tiết

Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot d(A,BC) \Leftrightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}}\)

\( \Leftrightarrow 3{S_{\Delta ABC}} = \frac{{(AD + BC) \cdot {S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} \Leftrightarrow 3BC = AD + BC \Leftrightarrow AD = 2BC\).

Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} \quad (1)\).

\(\overrightarrow {BC} = ( - 5; - 2;1)\), \(\overrightarrow {AD} = ({x_D} + 2;{y_D} - 3;{z_D} - 1)\).

\((1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} + 2 = - 10}\\{{y_D} - 3 = - 4}\\{{z_D} - 1 = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} = - 12}\\{{y_D} = - 1}\\{{z_D} = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy \(D( - 12; - 1;3)\).

Tính giá trị: \(x + 2y + 3z = - 12 + 2( - 1) + 3(3) = - 12 - 2 + 9 = - 5\).

Đáp án cần chọn là: B