Cho hình thang $ABCD$ vuông tại \(A\) và \(B\) có \(AB = 2\), \(AD = 8\) và \(BC = x\) với \(0 < x < 8\). Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $ABCD 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD. Giá trị của x là __  thì \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức thể tích hình nón \(V = \frac{{\pi {r^2}h}}{3}\) và thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h\) từ đó tìm \(x\).

Giải chi tiết:

Khi quay hình thang ABCD quanh đường thẳng BC, ta được khối tròn xoay có thể tích là:  

         \[{V_1} = {V_3} - {V_4} = 32\pi - \frac{1}{3}\pi \cdot {2^2} \cdot (8 - x) = \frac{4}{3}\pi (16 + x)\]

    Trong đó, \({V_3}\) là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng \(2\), chiều cao bằng \(8\); \({V_4}\) là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng \(2\), chiều cao bằng \(8 - x\).

Khi quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AD, ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    \[{V_2} = {V_5} + {V_4} = 4\pi x + \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (8 - x) = \frac{4}{3}\pi (8 + 2x)\]

    Trong đó, \({V_5}\) là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng \(2\), chiều cao bằng \(x\).

Theo giả thiết ta có:

      \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{16 + x}}{{8 + 2x}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 32 + 2x = 24 + 6x \Leftrightarrow x = 2.\]

Đáp án cần điền là: 2