Biết thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + 3,y = - \sqrt {x + 3} ,x = 1\) xoay quanh trục $Ox$ là \(\frac{a}{b}\pi ,(a,b \in \mathbb{N}),\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a + b\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

                          \[x + 3 = - \sqrt {x + 3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3 \ge 0}\\{{{(x + 3)}^2} = x + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{ }}\sqrt {x + 3} {\rm{ }} = 0\sqrt {x + 3} = - 1 \Leftrightarrow x = - 3.\]

Xét hình \((H)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt {x + 3} \) (với \( - 3 \le x \le - 2\)), \(y = x + 3\) (với \( - 2 \le x \le 1\)), \(y = 0\) và \(x = 1\).

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm chính bằng thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình \((H)\) quanh trục Ox. Do đó:

                  \[V = \pi \int_{ - 3}^{ - 2} {{{\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]}^2}} dx + \pi \int_{ - 2}^1 {{{(x + 3)}^2}} dx = \frac{{43\pi }}{2}.\]

Từ kết quả \(V = \frac{{43}}{2}\pi \), ta có \(a = 43\) và \(b = 2\).

\( \Rightarrow a + b = 43 + 2 = 45\).

Đáp án cần chọn là: D