Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan \(C{H_4}\) được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết \(H - C - H\) là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Độ lớn góc liên kết này là ______ (làm tròn đến hàng phần mười đơn vị đo là độ).

Phương pháp giải:

Sử dụng mô hình tứ diện đều ABCD cạnh \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện (vị trí nguyên tử \(C\)). Tính góc \(\widehat {HCH}\) (ví dụ \(\widehat {AGB}\)) bằng cách sử dụng định lý hàm số cosin hoặc phương pháp vectơ trong tam giác

Giải chi tiết:

Xét tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tứ diện.

   Theo tính chất trọng tâm tứ diện đều, khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh là:

                \[R = AG = BG = CG = DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]

    Xét tam giác GAB, ta có các cạnh: \(GA = GB = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) và \(AB = a\).

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác GAB:   

             \[\cos (\widehat {AGB}) = \frac{{G{A^2} + G{B^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot GA \cdot GB}}\]

         \[\cos (\widehat {AGB}) = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{\frac{{6{a^2}}}{{16}} + \frac{{6{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{\frac{{12{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{\frac{{12{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{\frac{{12{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{ - 4{a^2}}}{{12{a^2}}} = - \frac{1}{3}\]Suy ra $\widehat{AGB}=\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109,{47}^{°}$

Làm tròn đến hàng phần mười theo yêu cầu: $109,5^{°}$

Đáp án cần điền là: 109,5