Điền số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Người ta xoay đồ thị hàm số \(y = 4 - \frac{{{x^2}}}{4}\)trong đoạn [0; 4] quanh đường thẳng y = b để tạo thành một bộ phận máy (tham khảo hình vẽ). Giá trị của 3b là thì thể tích bộ phận máy này nhỏ nhất.

Đáp án cần điền là __

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, x = a và x = b được tính bởi công thức:

Giải chi tiết:

Xét phương trình hành độ giao điểm: \(4 - \frac{{{x^2}}}{4} = b \Rightarrow f(x) = 4 - b - \frac{{{x^2}}}{4} = 0\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh đường thẳng y = b được tính theo công thức:

             \(V = \pi \int_0^4 {{{\left( {4 - b - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)}^2}} dx = \pi \left[ {{{(4 - b)}^2}x - (4 - b)\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{x^5}}}{{80}}} \right]_0^4 = \pi \left[ {4{{(b - 4)}^2} + \frac{{32}}{3}(b - 4) + \frac{{64}}{5}} \right] \ge \frac{{256\pi }}{{45}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b = \frac{8}{3}.{\rm{ }}\)

Khi đó, giá trị của \(3b = 3 \cdot \left( {\frac{8}{3}} \right) = 8\)

Đáp án cần điền là: 8