Cho \(f(x)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f(0) = \frac{1}{{10}}\). Hàm số \(f'(x)\) có bảng biến thiên như

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải sơ lược:

{Phân tích \(f'(x)\):} Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f'(x)\) là hàm bậc baVì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f'(x) = \mp \infty \) nên hệ số của \({x^3}\) âm. \(f'(x)\) luôn có đúng một nghiệm \({x_0} > - 1\) (vì \(f'(x)\) giảm từ \(7/6\) về \( - \infty \) trên khoảng \(( - 1; + \infty )\)).

    Khảo sát \(f(x)\):

\(f'(x) > 0\) khi \(x < {x_0}\) và \(f'(x) < 0\) khi \(x > {x_0}\).

Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(( - \infty ;{x_0})\) và nghịch biến trên \(({x_0}; + \infty )\).

Cực đại duy nhất của \(f(x)\) tại \(x = {x_0}\). Vì \({x_0} > - 1\) và \(f(0) = 1/10 > 0\), nên giá trị cực đại \(f({x_0}) > 0\).

Ý a: Hàm số \(f(x)\) có dạng một parabol quay bề lõm xuống dưới. Vì giá trị cực đại dương, đồ thị \(f(x)\) cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt. Hàm \(|f(x)|\) sẽ có \(2 \times 2 - 1 = 3\) điểm cực trị. \( \Rightarrow \) Đúng.

Ý b: Xét hàm \(g(x) = f({x^3}) + x\). Ta có \(g'(x) = 3{x^2} \cdot f'({x^3}) + 1\).

Nếu \(x \le \sqrt[3]{{{x_0}}}\), thì \({x^3} \le {x_0} \Rightarrow f'({x^3}) \ge 0 \Rightarrow g'(x) > 0\).

Khi \(x\) rất lớn, \(g(x)\) sẽ bị chi phối bởi \(f({x^3})\) (bậc 12) nên sẽ lao về \( - \infty \).

Hàm số tăng từ \( - \infty \) lên một giá trị cực đại rồi giảm về \( - \infty \). Phương trình \(g(x) = 0\) thường có \(2\) nghiệm. Cần kiểm tra kỹ giá trị tại các điểm đặc biệt.

Ý c: Số điểm cực trị của \(|g(x)|\) bằng số điểm cực trị của \(g(x)\) cộng với số nghiệm đơn của phương trình \(g(x) = 0\).

Đáp án đúng là: Đ; S; S