Điền số thích hợp vào chỗ trống.

Cho hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {2^{x - 2}}\) có đồ thị lần lượt là \(({C_1}),({C_2})\) như hình vẽ. Gọi \(A\) là điểm thuộc \(({C_1})\), B, C là các điểm thuộc \(({C_2})\) sao cho tam giác $ABC$ là tam giác đều và AB song song với Ox. Khi đó tọa độ điểm \(C\) là \((p;q)\), giá trị của \({2^p} + q\) bằng _____ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ các điểm \(A(a;{2^a}),B(b;{2^{b - 2}}),C(c;{2^{c - 2}})\).

Từ điều kiện \({y_A} = {y_B}\) tìm mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\).

Từ tính chất tam giác đều, hoành độ \({x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\) để tìm \(c\) theo \(a\).

Giải phương trình độ dài cạnh \(AC = AB\) để tìm \(a\), từ đó suy ra tọa độ \(C\).

Giải chi tiết:

Ta có \(A(a;{2^a})\) và \(B(b;{2^{b - 2}})\). Vì \(AB\parallel Ox \Rightarrow {y_A} = {y_B} \Leftrightarrow {2^a} = {2^{b - 2}} \Leftrightarrow b - a = 2\).

Độ dài cạnh tam giác đều là \(AB = |b - a| = 2\).

Gọi \(C(c;{2^{c - 2}})\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên hoành độ \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng chiếu của $AB$ xuống trục hoành:

    \[{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{a + b}}{2} = \frac{{a + a + 2}}{2} = a + 1.\]

Vậy tọa độ điểm \(C\) là \((a + 1;{2^{a - 1}})\).

Ta có \(AC = \sqrt {{{({x_C} - {x_A})}^2} + {{({y_C} - {y_A})}^2}} = \sqrt {{1^2} + {{({2^{a - 1}} - {2^a})}^2}} \).

Vì tam giác đều cạnh bằng \(2\) nên \(A{C^2} = 4\):

   \[1 + {({2^{a - 1}} - {2^a})^2} = 4 \Leftrightarrow {({2^{a - 1}}(1 - 2))^2} = 3 \Leftrightarrow {({2^{a - 1}})^2} = 3 \Leftrightarrow {2^{a - 1}} = \sqrt 3 .\]

Suy ra \({2^a} = 2\sqrt 3 \). Khi đó \(a = {\log _2}(2\sqrt 3 ) = 1 + {\log _2}\sqrt 3 \).

Tọa độ điểm \(C(p;q)\) là: \(p = a + 1 = 2 + {\log _2}\sqrt 3 \) và \(q = {2^{a - 1}} = \sqrt 3 \).

Tính giá trị biểu thức:

    \[{2^p} + q = {2^{2 + {{\log }_2}\sqrt 3 }} + \sqrt 3 = 4 \cdot \sqrt 3 + \sqrt 3 = 5\sqrt 3 \approx 8,66.\]

Đáp án cần điền là: 8,66