Điền số thích hợp vào chỗ trống.

Một kiến trúc sư muốn xây dựng một tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bảng thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên 300 mét và cạnh đáy và dài 200 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng cây cầu hình 𝐻 𝐾 bắc xuyên tòa nhà ( điểm đầu thuộc cạnh, 𝐴 ′ 𝐶 , điểm cuối thuộc cạnh 𝐵 𝐶 ′ ) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 6 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao giá xây cây cầu là thấp nhất. Khi đó giá xây dựng cây cầu này hết ________ tỷ đồng. ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị )

____

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz A(0; -100; 0), \(C(0;100;0)\), \(B(100\sqrt 3 ;0;0)\).

\(A'(0; - 100;300)\), \(C'(0;100;300)\), \(B'(100\sqrt 3 ;0;300)\).

Đường thẳng A'C đi qua \(C(0;100;0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {CA'} = (0; - 200;300)\), chọn \(\vec a = (0; - 2;3)\).

Đường thẳng BC'đi qua \(B(100\sqrt 3 ;0;0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {BC'} = ( - 100\sqrt 3 ;100;300)\), chọn \(\vec b = ( - \sqrt 3 ;1;3)\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A'C và BC' là:

       \[d(A'C,BC') = \frac{{|[\vec a,\vec b] \cdot \overrightarrow {CB} |}}{{|[\vec a,\vec b]|}}\]

Ta có: \([\vec a,\vec b] = ( - 9; - 3\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 )\) và \(\overrightarrow {CB} = (100\sqrt 3 ; - 100;0)\).  

     \[d = \frac{{| - 900\sqrt 3 + 300\sqrt 3 |}}{{\sqrt {81 + 27 + 12} }} = \frac{{600\sqrt 3 }}{{\sqrt {120} }} = \frac{{600\sqrt 3 }}{{2\sqrt {30} }} = 30\sqrt {10} \approx 94,87{\rm{ (m)}}.\]

Tổng chi phí xây dựng thấp nhất là:   

                            \[T = 94,87 \times 6 \approx 569,22{\rm{ }}\]

Làm tròn đến hàng đơn vị: 569 tỷ đồng.

Đáp án cần điền là: 569