Câu hỏi:

16/03/2026 139

Điền một số thích hợp vào chỗ trống, làm tròn đến hàng phần trăm.

Đường $y = c$ cắt đồ thị hàm số $y = 2x - 3{x^3}$ ở góc phần tư thứ nhất tại $2$ điểm phân biệt như hình vẽ. Giá trị của $c$ là ____. thì diện tích của hai vùng in đậm bằng nhau. (Điền kết quả dưới dạng phân số $a/b$)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 11) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

1. 4/9

Phương pháp giải:

Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x = a,x = b{\mkern 1mu} (a < b)$ là $S = \int_a^b | f(x) - g(x)|dx$.

Giải chi tiết:

Giả sử đường $y = c$ cắt đồ thị hàm số $y = 2x - 3{x^3}$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ${x_1},{x_2}{\mkern 1mu} ({x_1} < {x_2})$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $2x - 3{x^3} = c \Leftrightarrow 3{x^3} - 2x + c = 0\quad (*)$.

Theo bài ra, diện tích hai phần bằng nhau nên ta có phương trình tích phân:

\[\int_0^{{x_1}} {(3{x^3} - 2x + c)} dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(2x - 3{x^3} - c)} dx\]

\[ \Leftrightarrow \int_0^{{x_2}} {(3{x^3} - 2x + c)} dx = 0\]

Tính tích phân

\[\left( {\frac{3}{4}{x^4} - {x^2} + cx} \right)|_0^{{x_2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4}x_2^4 - x_2^2 + c{x_2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{4}x_2^3 - {x_2} + c = 0\quad (**){\rm{ (v\`i }}{x_2} > 0){\rm{.}}\]

Từ $(*)$ và $(**)$, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x_2^3 - 2{x_2} + c = 0}\\{\frac{3}{4}x_2^3 - {x_2} + c = 0}\end{array}} \right.\]

Trừ vế theo vế: $\frac{9}{4}x_2^3 - {x_2} = 0 \Leftrightarrow x_2^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow {x_2} = \frac{2}{3}$ (vì ${x_2}$ ở góc phần tư thứ nhất).

Thay ${x_2} = \frac{2}{3}$ vào $(*)$: $3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} - 2\left( {\frac{2}{3}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{9} - \frac{4}{3} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{4}{9}$.

Đáp án cần điền là: 4/9

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Điền số thích hợp vào chỗ trống.

Một quả bóng hình cầu có bán kính $r$ đang được treo trong một góc của tường nhà (như hình vẽ) hai tia Ox, Oy hợp với nhau một góc $120^{°}$ , một điểm $B$ cố định nằm trên mép của hai bờ tường và cách mặt đất 80 cm, sợi dây treo bóng có độ dài $AB = 30$ cm và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm $B$ với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm . Đường kính quả bóng là ____ milimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

1. 344

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng nằm ngang đi qua tâm $I$, góc giữa hai bức tường là $120^{°}$ , suy ra góc tạo bởi đoạn nối tâm $I$ và giao tuyến của hai tường với mỗi bức tường là $60^{°}$

Xét tam giác vuông tại điểm tiếp xúc, ta có khoảng cách từ tâm $I$ đến giao tuyến của hai bức tường là:

$I H = \frac{I M}{\cos 30^{°}} = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 r}{\sqrt{3}} .$

Theo giả thiết, sợi dây $AB = 30$ cm là khoảng cách ngắn nhất từ $B$ đến mặt cầu, nên $IB = r + 30$.

Điểm thấp nhất của bóng cách đất 20 cm và $B$ cách đất 80 cm. Gọi $h$ là chênh lệch độ cao giữa $B$ và $I$, ta có $h = 80 - (20 + r) = 60 - r$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông có cạnh huyền IB và các cạnh góc vuông là IH và $h$:

\[I{B^2} = I{H^2} + {h^2} \Leftrightarrow {(r + 30)^2} = {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {(r - 60)^2}.\]

Giải phương trình:

\[{(r + 30)^2} - {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {(r - 60)^2} = 0.\]

Ta tìm được $r \approx 17,188$ cm.

Đường kính quả bóng là $d = 2r \approx 34,376$ cm.

Đổi sang milimet và làm tròn: 343,76 mm $ \approx 344$ mm.

Đáp án cần điền là: 344

Câu 2

Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được đánh thứ tự từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh ta: ``Con hãy hô câu thần chú khắc xuất, khắc xuất thì cây tre sẽ rời ra, con sẽ mang được về nhà''. Biết rằng cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài 2 đốt và 5 đốt (có thể chỉ có một loại). Xác suất để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 là ... (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án cần điền là: _____

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

1. 0,14

Phương pháp giải:

Tìm các bộ $(x;y)$ thỏa mãn $2x + 5y = 100$ và đưa về tính tổng tổ hợp.

Giải chi tiết:

Giả sử có $x$ đoạn 2 đốt và $y$ đoạn 5 đốt được tách ra từ cây tre 100 đốt đã cho.

Ta có: $2x + 5y = 100 \Rightarrow x = \frac{{100 - 5y}}{2} = 50 - \frac{{5y}}{2}$.

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $y$ phải là số chẵn. Do $2x + 5y = 100$ và $x,y \ge 0$ nên $y \in \{ 0;2;4; \ldots ;20\} $.

Với mỗi bộ số $(x;y)$ tìm được, ta có tổng số đoạn là $n = x + y$. Số cách để tách cây tre thành $x$ đoạn 2 đốt và $y$ đoạn 5 đốt là $C_{x + y}^y$ (hoặc $C_{x + y}^x$).

Do đó, tổng số cách để tách cây tre 100 đốt thành các đoạn 2 đốt và 5 đốt là:

\[\sum {C_{x + y}^y} = C_{50}^0 + C_{47}^2 + C_{44}^4 + C_{41}^6 + C_{38}^8 + C_{35}^{10} + C_{32}^{12} + C_{29}^{14} + C_{26}^{16} + C_{23}^{18} + C_{20}^{20} = 545.813.094.\]

Để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 thì ta có hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 100}\\{x - y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(y + 1) + 5y = 100}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7y = 98}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 14}\\{x = 15}\end{array}} \right.\]

Số cách để tách cây tre thành 15 đoạn 2 đốt và 14 đoạn 5 đốt là:

\[C_{15 + 14}^{14} = C_{29}^{14} = 77.558.760.\]

Xác suất cần tìm là:

\[P = \frac{{77.558.760}}{{545.813.094}} \approx 0,1421.\]

Đáp án cần điền là: 0,14

Câu 3