Điền một số thích hợp vào chỗ trống, làm tròn đến hàng phần trăm.

Đường \(y = c\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2x - 3{x^3}\) ở góc phần tư thứ nhất tại \(2\) điểm phân biệt như hình vẽ. Giá trị của \(c\) là ____. thì diện tích của hai vùng in đậm bằng nhau. (Điền kết quả dưới dạng phân số \(a/b\))

Phương pháp giải:

Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b{\mkern 1mu} (a < b)\) là \(S = \int_a^b | f(x) - g(x)|dx\).

Giải chi tiết:

Giả sử đường \(y = c\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2x - 3{x^3}\) tại \(2\) điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},{x_2}{\mkern 1mu} ({x_1} < {x_2})\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(2x - 3{x^3} = c \Leftrightarrow 3{x^3} - 2x + c = 0\quad (*)\).

Theo bài ra, diện tích hai phần bằng nhau nên ta có phương trình tích phân:   

                                 \[\int_0^{{x_1}} {(3{x^3} - 2x + c)} dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(2x - 3{x^3} - c)} dx\]

\[ \Leftrightarrow \int_0^{{x_2}} {(3{x^3} - 2x + c)} dx = 0\]

Tính tích phân

  \[\left( {\frac{3}{4}{x^4} - {x^2} + cx} \right)|_0^{{x_2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4}x_2^4 - x_2^2 + c{x_2} = 0\]   

         \[ \Leftrightarrow \frac{3}{4}x_2^3 - {x_2} + c = 0\quad (**){\rm{ (v\`i }}{x_2} > 0){\rm{.}}\]

Từ \((*)\) và \((**)\), ta có hệ phương trình:   

       \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x_2^3 - 2{x_2} + c = 0}\\{\frac{3}{4}x_2^3 - {x_2} + c = 0}\end{array}} \right.\]

Trừ vế theo vế: \(\frac{9}{4}x_2^3 - {x_2} = 0 \Leftrightarrow x_2^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow {x_2} = \frac{2}{3}\) (vì \({x_2}\) ở góc phần tư thứ nhất).

Thay \({x_2} = \frac{2}{3}\) vào \((*)\): \(3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} - 2\left( {\frac{2}{3}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{9} - \frac{4}{3} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{4}{9}\).

Đáp án cần điền là: 4/9