Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Xét số A 123456789101112...20232024 (số tự nhiên A 𝐴 có được bằng cách viết lần lượt các số từ 1 → 2024). Số dư của 𝐴 khi chia cho 45 bằng __ .

Phương pháp giải:

Xét tổng các chữ số của \(A\) để tìm số dư khi chia cho \(9\) và xét chữ số tận cùng để tìm số dư khi chia cho \(5\). Từ đó suy ra số dư của \(A\) khi chia cho 45

9 bằng số dư của tổng các chữ số của nó khi chia cho \(9\). Tổng các chữ số của số \(A\) có cùng số dư với tổng các số từ \(1\) đến $2024$. Ta có: \(1 + 2 + 3 + ... + 2024 = \frac{{2024(2024 + 1)}}{2} = 2049300\). Vì \(2 + 0 + 4 + 9 + 3 + 0 + 0 = 18\) chia hết cho \(9\) nên \(A\; \vdots \;9\).

Tìm số dư khi chia cho 5: Chữ số tận cùng của \(A\) là chữ số cuối cùng của số 2024, tức là số \(4\). Do đó \(A\) chia cho \(5\) dư \(4\).

Kết luận: Ta có hệ điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A \equiv 4\quad \left( {\bmod 5} \right)}\\{A \equiv 0\quad \left( {\bmod 9} \right)}\end{array}} \right.\). Số chia hết cho \(9\) và chia cho \(5\) dư \(4\) trong khoảng từ \(0\) đến 44 là số \(9\). Vậy \(A\) chia 45 dư \(9\).

Đáp án cần điền là: 9