Đọc văn bản sau và trả lời các câu hỏi từ 61 đến 67

Một học sinh tiến hành khảo sát dao động của một con lắc đơn. Các bước tiến hành như sau:

- Treo con lắc đơn vào một điểm cố định

- Kích thích caon lắc daodoojng và đo thời gian con lắc thực hiện được 10 dao động (t). Thay đổi các giá trị khác nhau của h, ghi lại thời gian con lắc thực hiện 10 dao động

- Với mỗi giá trị của h, tiến hành đo 2 lần giá trị t. Kết quả thí nghiệm được cho bởi Bảng 1.Chu kì là thời gian con lắc thực hiện một dao động, kí hiệu là T

T và h liên hệ với nhau bởi công thức: \({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{g}(k - h)*\)với g là gia tốc rơi tự do và k là một hằng số

Cho các phát biểu sau đây, hãy cho biết đúng hay sai?

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng nằm ngang đi qua tâm \(I\), góc giữa hai bức tường là ${120}^{°}$, suy ra góc tạo bởi đoạn nối tâm \(I\) và giao tuyến của hai tường với mỗi bức tường là ${60}^{°}$

Xét tam giác vuông tại điểm tiếp xúc, ta có khoảng cách từ tâm \(I\) đến giao tuyến của hai bức tường là:

$IH=\frac{IM}{\cos {30}^{°}}=\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$

Theo giả thiết, sợi dây \(AB = 30\) cm là khoảng cách ngắn nhất từ \(B\) đến mặt cầu, nên \(IB = r + 30\).

Điểm thấp nhất của bóng cách đất 20 cm và \(B\) cách đất 80 cm. Gọi \(h\) là chênh lệch độ cao giữa \(B\) và \(I\), ta có \(h = 80 - (20 + r) = 60 - r\).

    Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông có cạnh huyền IB và các cạnh góc vuông là IH và \(h\):

     \[I{B^2} = I{H^2} + {h^2} \Leftrightarrow {(r + 30)^2} = {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {(r - 60)^2}.\]

Giải phương trình:

        \[{(r + 30)^2} - {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {(r - 60)^2} = 0.\]

Ta tìm được \(r \approx 17,188\) cm.

Đường kính quả bóng là \(d = 2r \approx 34,376\) cm.

Đổi sang milimet và làm tròn: 343,76 mm \( \approx 344\) mm.

Đáp án cần điền là: 344

Phương pháp giải:

Tìm các bộ \((x;y)\) thỏa mãn \(2x + 5y = 100\) và đưa về tính tổng tổ hợp.

Giải chi tiết:

Giả sử có \(x\) đoạn 2 đốt và \(y\) đoạn 5 đốt được tách ra từ cây tre 100 đốt đã cho.

Ta có: \(2x + 5y = 100 \Rightarrow x = \frac{{100 - 5y}}{2} = 50 - \frac{{5y}}{2}\).

Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(y\) phải là số chẵn. Do \(2x + 5y = 100\) và \(x,y \ge 0\) nên \(y \in \{ 0;2;4; \ldots ;20\} \).

Với mỗi bộ số \((x;y)\) tìm được, ta có tổng số đoạn là \(n = x + y\). Số cách để tách cây tre thành \(x\) đoạn 2 đốt và \(y\) đoạn 5 đốt là \(C_{x + y}^y\) (hoặc \(C_{x + y}^x\)).

Do đó, tổng số cách để tách cây tre 100 đốt thành các đoạn 2 đốt và 5 đốt là:

   \[\sum {C_{x + y}^y} = C_{50}^0 + C_{47}^2 + C_{44}^4 + C_{41}^6 + C_{38}^8 + C_{35}^{10} + C_{32}^{12} + C_{29}^{14} + C_{26}^{16} + C_{23}^{18} + C_{20}^{20} = 545.813.094.\]

Để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 thì ta có hệ:

     \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 100}\\{x - y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(y + 1) + 5y = 100}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7y = 98}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 14}\\{x = 15}\end{array}} \right.\]

Số cách để tách cây tre thành 15 đoạn 2 đốt và 14 đoạn 5 đốt là:

                \[C_{15 + 14}^{14} = C_{29}^{14} = 77.558.760.\]

Xác suất cần tìm là:

   \[P = \frac{{77.558.760}}{{545.813.094}} \approx 0,1421.\]

Đáp án cần điền là: 0,14