Dựa vào thông tin sau và trả lời các câu hỏi từ câu 26 -- 28:

Ở một thị xã, tỉ lệ mắc căn bệnh M là 22%.

Chính quyền thị xã đó muốn biết danh sách những người bị mắc bệnh nên đã tổ chức xét nghiệm cho toàn bộ người dân.

Tuy nhiên bộ ``test'' được sử dụng trong phương pháp xét nghiệm này có những sai sót nhất định:

Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ ``test'' cho ra kết quả dương tính là 10%.

Nếu bộ ``test'' cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là 70%.

Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ ``test'' cho ra kết quả chính xác là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Công thức xác suất.

Giải chi tiết:

Từ dữ kiện ``Nếu bộ test cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là 70%'' suy ra

  \[P(A\mid B) = 0,7.\]

Ta có hệ:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22,}\\{P(B\mid \bar A) = 0,1,}\\{P(A\mid B) = 0,7.}\end{array}} \right.\]

Suy ra:

  \[P(\bar A) = 1 - 0,22 = 0,78,\quad P(\bar AB) = 0,1 \cdot 0,78 = 0,078.\]

Ta có:

  \[P(B) - P(\bar AB) = 0,7P(B) \Rightarrow P(B) = 0,26.\]

Do đó:

  \[P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{P(B) - P(\bar AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,26 - 0,078}}{{0,22}} = 0,8273 = 82,73\% .\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Bayes:

  \(P(B|A) = \frac{{P\left( {A{\rm{|}}B} \right)P\left( B \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

·        Dùng dữ kiện “nếu test dương tính thì xác suất bị bệnh 70%” để suy ngược ra xác suất test đúng khi có bệnh.

Phương pháp giải:

Công thức xác suất.

Giải chi tiết:

Xác suất chẩn đoán đúng là:

  \[P(AB + \bar A{\mkern 1mu} \bar B) = P(AB) + P(\bar A{\mkern 1mu} \bar B)\]

  \[ = P(B) - P(\bar AB) + P(\bar A) - P(\bar AB)\]

  \[ = 0,26 - 0,078 + 0,78 - 0,078 = 0,884 = 88,4\% .\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Xác suất chẩn đoán đúng = P(test đúng khi bệnh)·P(bệnh) + P(test đúng khi không bệnh)·P(không bệnh).

·        Cộng hai trường hợp đúng, tránh nhầm lẫn với công thức cộng xác suất.