Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \((\mathbb{R})v{\rm{\`a }}({e^{2x + 1}})\)là một nguyên hàm của hàm số \({e^x}f'(x)\)trên \((\mathbb{R}),v{\rm{\`a  }}(f(0) = 1).\)

Khi đó f(1) bằng:

Phương pháp giả

Công thức nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Vì \({e^{2x + 1}}\)là nguyên hàm của \({e^x}f'(x)\)nên:

  \[{e^x}f'(x) = {({e^{2x + 1}})^\prime } = 2{e^{2x + 1}} \Rightarrow f'(x) = 2{e^{x + 1}}.\]

Ta có:

  \[\int_0^1 {f'} (x){\mkern 1mu} dx = f(1) - f(0).\]

Suy ra:

  \[f(1) = f(0) + \int_0^1 2 {e^{x + 1}}{\mkern 1mu} dx = 1 + 2{e^{x + 1}}|_0^1 = 2{e^2} - 2e + 1.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Nếu \(f'\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = \smallint g\left( x \right)dx\).

·        Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, thay giá trị vào để tính \(f\left( 1 \right)\).