Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau (xem hình).

Khẳng định nào sau đây về số cực trị của hàm số

  \[g(x) = f({x^2} + 1) + {x^2} - {x^3} + {x^4}\] là đúng?

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số g(x).

Giải chi tiết:

Ta có:

  \[g'(x) = 2x{\mkern 1mu} f'({x^2} + 1) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3} = 2x[f'({x^2} + 1) + 2{x^2} - {\textstyle{3 \over 2}}x + 1].\]

Vì \({x^2} + 1 \ge 1,\;\forall x \in \mathbb{R}.\) Dựa vào bảng biến thiên ta có

  \[f'(x) \ge 0,\;\forall x \in (1; + \infty ) \Rightarrow f'({x^2} + 1) \ge 0,\;\forall x \in \mathbb{R}.\]

Mặt khác:

  \[2{x^2} - {\textstyle{3 \over 2}}x + 1 = 2{\left( {x - {\textstyle{3 \over 8}}} \right)^2} + {\textstyle{{23} \over {32}}} > 0,\;\forall x \in \mathbb{R}.\]

Do đó:

  \[f'({x^2} + 1) + 2{x^2} - {\textstyle{3 \over 2}}x + 1 > 0,\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0.\]

Bảng biến thiên cho thấy hàm số chỉ có đúng một cực tiểu.

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào số lần đạo hàm đổi dấu.

·        Đọc kỹ bảng xét dấu đạo hàm → nếu chỉ có một lần đổi dấu từ âm sang dương thì hàm chỉ có một cực tiểu.