Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau (xem hình).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Khảo sát hàm số g(x).
Giải chi tiết:
Ta có:
\[g'(x) = 2x{\mkern 1mu} f'({x^2} + 1) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3} = 2x[f'({x^2} + 1) + 2{x^2} - {\textstyle{3 \over 2}}x + 1].\]
Vì \({x^2} + 1 \ge 1,\;\forall x \in \mathbb{R}.\) Dựa vào bảng biến thiên ta có
\[f'(x) \ge 0,\;\forall x \in (1; + \infty ) \Rightarrow f'({x^2} + 1) \ge 0,\;\forall x \in \mathbb{R}.\]
Mặt khác:
\[2{x^2} - {\textstyle{3 \over 2}}x + 1 = 2{\left( {x - {\textstyle{3 \over 8}}} \right)^2} + {\textstyle{{23} \over {32}}} > 0,\;\forall x \in \mathbb{R}.\]
Do đó:
\[f'({x^2} + 1) + 2{x^2} - {\textstyle{3 \over 2}}x + 1 > 0,\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0.\]
Bảng biến thiên cho thấy hàm số chỉ có đúng một cực tiểu.
Mở rộng:
· Công thức tổng quát: Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào số lần đạo hàm đổi dấu.
· Đọc kỹ bảng xét dấu đạo hàm → nếu chỉ có một lần đổi dấu từ âm sang dương thì hàm chỉ có một cực tiểu.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập