Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \[\Delta \] biết

a) \[\Delta \] đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) \[\Delta \] đi qua \(B\left( {4; - 2} \right)\), và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm  có dạng: \(A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).

Theo giả thiết, ta có:

\[{\rm{cos}}45^\circ  = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow \]\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai đường thẳng  thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) có \(\Delta ' = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 1;\,{x_2} = 1\).

Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Nên bất phương trình \({x^2} - 1 \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

b) Dễ thấy \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1 - \sqrt 2 ;\,\) \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \).

Do đó ta có bảng xét dấu \(g\left( x \right)\):

Nên bất phương trình \({x^2} - 2x - 1 < 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\).

c) \((4 - 3x)( - 2{x^2} + 3x - 1) \le 0\)

Xét \(f\left( x \right) = \left( {4 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có \(T = ( - \infty ;\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\) là tập nghiệm của bất phương trình.