Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(I\) là trung điểm \(AC\), \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(SC\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

-Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\).

Dễ dàng chứng minh \(AICD\) là hình vuông \( \Rightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AC}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAC)} \right.\).

- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CI \bot AB}\\{CI \bot SA}\end{array} \Rightarrow CI \bot (SAB)} \right.\)

Hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên \(mp(SAB)\) là \(\Delta SIB\).

\({S_{\Delta SIB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1,5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 90

Gọi \(M\) là trung điểm \(CC'\).

Ta có: \(IM//BC' \Rightarrow \left( {AI,BC'} \right) = (AI,IM)\)

Ta có:

\(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);\(IM = \frac{1}{2}BC' = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a;AM = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \sqrt 2 a\).

Xét \(\Delta AIM\) có: \(A{M^2} = A{I^2} + I{M^2}\) nên \(\Delta AIM\) vuông tại \[I\]. Vậy \(\left( {AI,BC'} \right) = 90^\circ \).