Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng hai quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp đựng ba tấm thẻ \[A,B,C\].

(a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

(b) Xét các biến cố sau:

\[E\]: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen”.

\[F\]: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ \[A\]”.

Hãy mô tả kết quả thuận lợi của hai biến cố \[E\] và \[F\].

Cho đường tròn \[O\] đường kính \[AB\]. Dây cung \[MN\] vuông góc với \[AB\], \[\left( {AM < BM} \right)\]. Hai đường thẳng \[BM\] và \[NA\] cắt nhau tại \[K\]. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[K\] đến đường thẳng \[AB\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AHKM\] nội tiếp trong một đường tròn.

(b) Chứng minh rằng \[NB.HK = AN.HB.\]

(c) Chứng minh \[HM\] là tiếp tuyến của đường tròn \[O\].

Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\], dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[F\]. Gọi \[M\] là một điểm thuộc cung nhỏ \[BC\] (\[M\] khác \[B,C\]), hai đường thẳng \[AM\] và \[CD\] cắt nhau \[E\].

(a) Chứng minh tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.

(b) Chứng minh tia \[MA\] là phân giác của góc \[\widehat {CMD}\].

(c) Chứng minh \[A{C^2} = AE.AM.\]

Cho điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn tâm \[O\]. Vẽ tiếp tuyến \[MA,MB\] của đường tròn với \[A,B\] là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến \[MCD\] không đi qua tâm \[O\] (\[C\] nằm giữa \[M\] và \[D\]); \[OM\] cắt \[AB\] và \[\left( O \right)\] lần lượt tại \[H,I\]. Gọi \[E\] là trung điểm của \[DC\].

(a) Chứng minh: \[MAOB,ABOE\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[MC.MD = M{A^2}\] và \[\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\].

(c) Chứng minh: \[OH.OM + MC.MD = M{O^2}\].

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] có dây cung \[AB\] cố định. Kẻ đường kính \[IK\] vuông góc với \[AB\] tại \[N\] (\[I\] thuộc cung lớn \[AB\]). Lấy điểm \[M\] bất kì trên cung lớn \[AB\], \[MK\] cắt \[AB\] tại \[D\]. Hai đường thẳng \[IM\] và \[AB\] cắt nhau tại \[C\].

(a) Chứng minh rằng \[INDM\] là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \[ND.NC = NI.NK\].

(c) Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[ID\] và \[CK\]. Chứng minh \[E \in \left( O \right)\].

(d) Xác định vị trí của \[M\] trên cung lớn \[AB\] để tích \[DM.DK\] đạt giá trị lớn nhất.

Nhận dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao. Chi phí để hoàn thiện mỗi chiếc đèn ông sao là \[7\] nghìn đồng. Với giá bán \[25\] nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn ông sao, câu lạc bộ bán được \[200\] chiếc đèn. Để bán được nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh viên dự định giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ cứ giảm giá \[1\] nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số lượng bán ra tăng thêm \[20\] chiếc. Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất?

Biểu đồ cột dưới đây mô tả tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của 200 chiếc bóng đèn dây tóc trong một lô sản xuất.

(a) Hãy lập bảng tần số mô tả dữ liệu biểu đồ trên.

(b) Một bóng đèn được cho là thuộc loại I nếu có tuổi thọ từ 1500 giờ trở lên. Hỏi có bao nhiêu bóng đền thuộc loại I trong số các bóng đèn được thống kê.

(c) Hãy vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu diễn dữ liệu ở biểu đồ bên.

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] tại \[E\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\], tia \[HD\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AECD\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[BF.BH = BD.BC\] và \[AK \bot BC\].

(c) Gọi \[I\] là trung điểm của \[EF\]. Chứng minh \[OI \bot AH\].