Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong \(OABC\) (\(B\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)) được mô hình hóa trong mặt phẳng \(Oxy\) (đơn vị mỗi trục là 10m). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong \(OABC\) thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba \(y = f(x)\) như hình vẽ. Biết đơn giá làm hồ bơi là \(400.000\) đồng/m\(^2\), đơn giá trồng cỏ là \(200.000\) đồng/m\(^2\). Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm số \(g(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\;(x > 2)\). Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường \(MN\) đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường \(MN\) mà anh Nghĩa muốn làm. (Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 7,49

Bước 1: Xác định phương trình hàm số \(y = f(x)\)

 Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba.

 Quan sát ta thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ \(O(0,0)\) và đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(C(3,0)\). Vậy \(f(x) = k\left( {x - 3} \right).{x^2} = k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\).

 Phần đồ thị nhánh cuối đi xuống nên \(k < 0\), ta có \(f(x) = k{x^3} - 3k{x^2}\) và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right)\)

Và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_B} = 2,{y_B} =  - 4k \Rightarrow B\left( {2; - 4k} \right)\)

Bước 2: Sử dụng dữ kiện chi phí để tìm \(k\)

 Diện tích mảnh vườn (phần nằm dưới đồ thị \(f(x)\) từ \(x = 0\) đến \(x = 3\)):

\({S_1} = \int_0^3 {k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x =  - \frac{{27}}{4}k{\rm{(dvdt)}}\)

 Diện tích hồ bơi \({S_2} = \int_0^2 {\left[ { - 4k - k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right]} dx =  - 4k{\rm{ (dvdt)}}\)

 Vì mỗi đơn vị trục tọa độ là 10m, nên \(1\) đvdt \( = 10{\rm{m}}.10{\rm{m}} = 100{{\rm{m}}^2}\).

 Diện tích thực tế: \({S_{vu\`o n}} =  - 675k\;({{\rm{m}}^2})\) và \({S_{h\^o }} =  - 400k\;({{\rm{m}}^2})\).

 Tổng chi phí:

\( - 400k.400.000 - 675k.200.000 = 295.000.000 \Rightarrow  - 295.000.000k = 295.000.000 \Rightarrow k =  - 1\)

 Vậy phương trình đường cong ranh giới là: \(f(x) =  - {x^3} + 3{x^2}\).

Bước 3: Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn đường \[MN\]

Ý tưởng: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đồ thị đạt được khi đoạn thẳng nối hai điểm đó là “đoạn vuông góc chung”, tức là đoạn thẳng đó lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến của hai đồ thị tại hai điểm đó.

Điều này đồng nghĩa với việc, tại điểm \[M\] và điểm \[N\] đó, ta sẽ có 2 tính chất sinh tử:

1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại \[M\] và tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = g(x)\) tại \[N\] phải song song với nhau.

2. Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với cả hai tiếp tuyến đó.

Gọi tọa độ hai điểm \[M\] và \[N\]

 Gọi điểm \(M(a; - {a^3} + 3{a^2})\) thuộc đường cong \(({C_1})\) (đồ thị hàm số \(y = f(x)\)).

 Gọi điểm \(N\left( {b;1 + \frac{3}{{b - 2}}} \right)\) thuộc đường cong \(({C_2})\) (đồ thị hàm số \(y = g(x)\)), với điều kiện \(b > 2\).

Dùng điều kiện "Tiếp tuyến song song" để rút gọn ẩn

Hai tiếp tuyến tại \(M\) và \(N\) song song với nhau khi và chỉ khi lần lượt đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) tại \(x = a\) và \(x = b\) bằng nhau:

\(f'(a) = g'(b)\)\( \Rightarrow  - 3{a^2} + 6a = \frac{{ - 3}}{{{{(b - 2)}^2}}}\)\( \Rightarrow {(b - 2)^2} = \frac{1}{{{a^2} - 2a}}\)

Vì \(b > 2\) nên \(b - 2 > 0\) và \(a > 2\), ta căn bậc hai hai vế: \(b - 2 = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\) \( \Rightarrow b = 2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\)

Lúc này, tọa độ điểm \(N\) được viết lại hoàn toàn theo ẩn \(a\): \(N\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }};1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} } \right)\)

Dùng điều kiện "Đoạn thẳng vuông góc" để chốt hạ

Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với tiếp tuyến tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\).

 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\) có hệ số góc là \(k = f'(a)\). Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;f'(a))\).

 Vectơ \(\overrightarrow {MN}  = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}) = (b - a;g(b) - f(a))\).

Vì \[MN\] vuông góc với tiếp tuyến nên tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0:

\(\overrightarrow {MN}  \cdot \vec u = 0\)\( \Leftrightarrow (b - a) \cdot 1 + (g(b) - f(a)) \cdot f'(a) = 0\)

Thay số và giải phương trình (Kết hợp máy tính)

Thay toàn bộ \(b\), \(f(a)\), \(g(b)\), và \(f'(a)\) theo biến \(a\) vào phương trình trên:

\(\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right) + \left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a}  - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right) \cdot ( - 3{a^2} + 6a) = 0\)

 Bấm máy dò được nghiệm: \(a \approx 2,369\)

Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a}  - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right)}^2}}  \approx 0,749\)

 Đổi ra thực tế: \(0,749 \times 10 = 7,49\) mét.