Một tấm pin năng lượng mặt trời có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) với kích thước cạnh \(AB = 2m\) và \(BC = 3m\). Tấm pin này được đặt nghiêng trên một mặt phẳng đất nằm ngang sao cho cạnh \(AB\) nằm sát trên mặt đất. Vào ban ngày, một nguồn sáng điểm (bóng đèn) được đặt tại vị trí \(S\), cách mặt đất một chiều cao \(4m\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt đất trùng với trung điểm \(I\) của cạnh \(AB\). Khi trời tối và bật đèn lên, ánh sáng từ \(S\) chiếu qua tấm pin \(ABCD\) tạo ra một bóng trên mặt đất. Bóng này có dạng một hình thang cân \(ABC'D'\), trong đó \(C'\) và \(D'\) lần lượt là hình chiếu của các đỉnh \(C\) và \(D\) của tấm pin lên mặt đất. Đã biết rằng, hình thang cân \(ABC'D'\) này có chiều cao là \(4,5m\). Hãy tính diện tích lớn nhất của hình thang cân \(ABC'D'\) là bóng của tấm pin trên mặt đất (Kết quả được yêu cầu tính bằng đơn vị \({m^2}\) và làm tròn đến hàng phần chục).

a) ĐÚNG

Theo bài \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)\)\( \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x =  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm \(D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)\) \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\)

Khi đó \(DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}}  \approx 5,14\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế từ \(D\) đến \(I\) là \(DI \approx 514\,\,\,(m)\). Vậy (a) đúng.

b) ĐÚNG

Đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x = 0\), và tiệm cận xiên là \(y =  - x + 10\)

Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\). Vậy (b) đúng.

c) SAI

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm sô \(f(x)\) với điểm \(I\). Ta có \(I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\). Đặt \(g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\).

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(g(x)\) với \(x > 0\)

\( \Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3,13\\x \approx  - 2,80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3,13) \approx 5,0908\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế \(IN \approx 509\,\,\left( m \right)\). Vậy (c) Sai.

d) ĐÚNG

Vì \(AB{\rm{//}}Ox\), nên \(A\,,\,B\) có cùng tung độ \( \Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}\). Nên dây phao \(AB\) nằm trên đường thẳng \(y = {y_0}\), và có \({x_A}\,,\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.\)

Chiều dài dây phao \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}}  = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \)

Khoảng cách từ điểm \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\) đến dây phao \(AB\) là \(h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|\)

Dựa vào hình vẽ, trạm \(I\) nằm cao hơn dây phao \(AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)\), nên \(h = 8 - {y_0}\)

Theo giả thiết khoảng cách từ điểm \(I\) đến \(AB\) bằng chiều dài \(AB\), nên ta có:

\(h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \) (ĐK: \(8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8\))

\( \Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} =  - 3\)

Vậy độ dài đáy \(AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11\)\( \Rightarrow h = 11\,\,\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60,5\,\,\)(đvdt)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là

\(S = 60,5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})\)

Vậy (d) đúng.

a) Đáp án: SAI

Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Đáp án: ĐÚNG

Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)

\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).

\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a =  - 4 \Rightarrow a =  - \frac{1}{{100}}\).

Vậy phương trình là: \(y = f(x) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).

c) Đáp án: ĐÚNG

Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).

Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).

Thể tích đèn lồng là:

\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)

\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)

\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.

d) Đáp án: ĐÚNG

Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.

Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là

\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}}  = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)

Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).

\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)

\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)

Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).

Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên

\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)

\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)

Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).