Một tấm pin năng lượng mặt trời có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) với kích thước cạnh \(AB = 2m\) và \(BC = 3m\). Tấm pin này được đặt nghiêng trên một mặt phẳng đất nằm ngang sao cho cạnh \(AB\) nằm sát trên mặt đất. Vào ban ngày, một nguồn sáng điểm (bóng đèn) được đặt tại vị trí \(S\), cách mặt đất một chiều cao \(4m\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt đất trùng với trung điểm \(I\) của cạnh \(AB\). Khi trời tối và bật đèn lên, ánh sáng từ \(S\) chiếu qua tấm pin \(ABCD\) tạo ra một bóng trên mặt đất. Bóng này có dạng một hình thang cân \(ABC'D'\), trong đó \(C'\) và \(D'\) lần lượt là hình chiếu của các đỉnh \(C\) và \(D\) của tấm pin lên mặt đất. Đã biết rằng, hình thang cân \(ABC'D'\) này có chiều cao là \(4,5m\). Hãy tính diện tích lớn nhất của hình thang cân \(ABC'D'\) là bóng của tấm pin trên mặt đất (Kết quả được yêu cầu tính bằng đơn vị \({m^2}\) và làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án: 37,1

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) hình vẽ

Ta có \(AB = 9\); \(BC = 3\).

Điểm \(C\left( {12;3;3} \right)\).

Điểm \(O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8\).

Điểm \(D\left( {0;8;3} \right)\). Điểm \(E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8\)

Ta tính \(CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \).

\(DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} \)

\(DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \)

\(EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0,5\)

Vì vậy tổng độ dài dây điện là

\(\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22,5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z\end{array}\).

Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra

\({\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}\).

Vì \(C,D\)nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm \(C'\left( {12;3;5} \right)\) điểm đối xứng với \(C\) qua mặt phẳng mái che.

Đường thẳng \(DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\), giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là \(O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z;z \in \left[ {0;8} \right]\). Ta có đạo hàm

\(f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0\). Suy ra \(f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8\).

Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là

\( = 22,5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8 \approx 37,1\).

Đáp án: 71.

Xác định không gian mẫu:

+ Số cách để sau 4 bước đi, Mã quay về ô D4 (Bước 3 và 4 chỉ có \(1\) cách đi để quay về ô D4):

Ÿ Bước 1 có \(8\) cách đi.

Ÿ Bước 2 có \(6\) cách đi.

Ÿ Trừ ra \(4\) cách đi Mã vượt khỏi giới hạn bàn cờ.

\( \Rightarrow \) Có \(8 \times 6 - 4 = 44\) cách đi.

+ Số cách để sau 3 bước đi, Vua quay về ô F6 (Bước 3 chỉ có \(1\) cách đi để quay về ô F6):

Ÿ Vua đi ngang hoặc dọc: Bước 1 có \(4\) cách đi, Bước 2 có \(4\) cách đi.

Ÿ Vua đi chéo: Bước 1 có \(4\) cách đi, Bước 2 có \(2\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(4 \times 4 + 4 \times 2 = 24\) cách đi.

+ Số phần tử không gian mẫu: \(44 \times 24 = 1056\) cách đi.

Xác định các trường hợp thuận lợi:

Mã và Vua có thể cùng đứng ở các ô E5, E6, E7, F5, G5, G7.

+ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6/F5:

Ÿ Mã: Bước 2 có có \(6\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 2 có có \(4\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48\) cách đi.

+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:

Ÿ Mã: Bước 1 có \(2\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 2 có \(2\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16\) cách đi.

+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:

Ÿ Mã: Bước 1 có \(2\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 1 có \(2\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16\) cách đi.

+ Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6/F5:

Ÿ Mã: Bước 1 có \(6\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 1 có \(4\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48\) cách đi.

+ Các trường hợp tính trùng:

Ÿ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô F5.

Ÿ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô F5, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6.

Do đó, có \(48 + 16 + 16 + 48 - 2 = 126\) cách đi thỏa mãn.

Xác suất cần tìm: \(\frac{{126}}{{1056}} = \frac{{21}}{{176}} = \frac{a}{b} \Rightarrow b - 5a = 176 - 5 \times 21 = 71\).