Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong \(OABC\) (\(B\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)) được mô hình hóa trong mặt phẳng \(Oxy\) (đơn vị mỗi trục là 10m). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong \(OABC\) thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba \(y = f(x)\) như hình vẽ. Biết đơn giá làm hồ bơi là \(400.000\) đồng/m\(^2\), đơn giá trồng cỏ là \(200.000\) đồng/m\(^2\). Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm số \(g(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\;(x > 2)\). Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường \(MN\) đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường \(MN\) mà anh Nghĩa muốn làm. (Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
7,49
Đáp án: 7,49
Bước 1: Xác định phương trình hàm số \(y = f(x)\)
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba.
Quan sát ta thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ \(O(0,0)\) và đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(C(3,0)\). Vậy \(f(x) = k\left( {x - 3} \right).{x^2} = k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\).
Phần đồ thị nhánh cuối đi xuống nên \(k < 0\), ta có \(f(x) = k{x^3} - 3k{x^2}\) và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right)\)
Và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_B} = 2,{y_B} = - 4k \Rightarrow B\left( {2; - 4k} \right)\)
Bước 2: Sử dụng dữ kiện chi phí để tìm \(k\)
Diện tích mảnh vườn (phần nằm dưới đồ thị \(f(x)\) từ \(x = 0\) đến \(x = 3\)):
\({S_1} = \int_0^3 {k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x = - \frac{{27}}{4}k{\rm{(dvdt)}}\)
Diện tích hồ bơi \({S_2} = \int_0^2 {\left[ { - 4k - k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right]} dx = - 4k{\rm{ (dvdt)}}\)
Vì mỗi đơn vị trục tọa độ là 10m, nên \(1\) đvdt \( = 10{\rm{m}}.10{\rm{m}} = 100{{\rm{m}}^2}\).
Diện tích thực tế: \({S_{vu\`o n}} = - 675k\;({{\rm{m}}^2})\) và \({S_{h\^o }} = - 400k\;({{\rm{m}}^2})\).
Tổng chi phí:
\( - 400k.400.000 - 675k.200.000 = 295.000.000 \Rightarrow - 295.000.000k = 295.000.000 \Rightarrow k = - 1\)
Vậy phương trình đường cong ranh giới là: \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2}\).
Bước 3: Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn đường \[MN\]
Ý tưởng: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đồ thị đạt được khi đoạn thẳng nối hai điểm đó là “đoạn vuông góc chung”, tức là đoạn thẳng đó lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến của hai đồ thị tại hai điểm đó.
Điều này đồng nghĩa với việc, tại điểm \[M\] và điểm \[N\] đó, ta sẽ có 2 tính chất sinh tử:
1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại \[M\] và tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = g(x)\) tại \[N\] phải song song với nhau.
2. Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với cả hai tiếp tuyến đó.
Gọi tọa độ hai điểm \[M\] và \[N\]
Gọi điểm \(M(a; - {a^3} + 3{a^2})\) thuộc đường cong \(({C_1})\) (đồ thị hàm số \(y = f(x)\)).
Gọi điểm \(N\left( {b;1 + \frac{3}{{b - 2}}} \right)\) thuộc đường cong \(({C_2})\) (đồ thị hàm số \(y = g(x)\)), với điều kiện \(b > 2\).
Dùng điều kiện "Tiếp tuyến song song" để rút gọn ẩn
Hai tiếp tuyến tại \(M\) và \(N\) song song với nhau khi và chỉ khi lần lượt đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) tại \(x = a\) và \(x = b\) bằng nhau:
\(f'(a) = g'(b)\)\( \Rightarrow - 3{a^2} + 6a = \frac{{ - 3}}{{{{(b - 2)}^2}}}\)\( \Rightarrow {(b - 2)^2} = \frac{1}{{{a^2} - 2a}}\)
Vì \(b > 2\) nên \(b - 2 > 0\) và \(a > 2\), ta căn bậc hai hai vế: \(b - 2 = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\) \( \Rightarrow b = 2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\)
Lúc này, tọa độ điểm \(N\) được viết lại hoàn toàn theo ẩn \(a\): \(N\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }};1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} } \right)\)
Dùng điều kiện "Đoạn thẳng vuông góc" để chốt hạ
Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với tiếp tuyến tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\) có hệ số góc là \(k = f'(a)\). Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;f'(a))\).
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}) = (b - a;g(b) - f(a))\).
Vì \[MN\] vuông góc với tiếp tuyến nên tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0:
\(\overrightarrow {MN} \cdot \vec u = 0\)\( \Leftrightarrow (b - a) \cdot 1 + (g(b) - f(a)) \cdot f'(a) = 0\)
Thay số và giải phương trình (Kết hợp máy tính)
Thay toàn bộ \(b\), \(f(a)\), \(g(b)\), và \(f'(a)\) theo biến \(a\) vào phương trình trên:
\(\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right) + \left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right) \cdot ( - 3{a^2} + 6a) = 0\)
Bấm máy dò được nghiệm: \(a \approx 2,369\)
Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right)}^2}} \approx 0,749\)
Đổi ra thực tế: \(0,749 \times 10 = 7,49\) mét.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Đỉnh cao nhất của hòn đảo (điểm cực đại của đồ thị hàm số) cách \(I\) một khoảng \(514\,\,(m)\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đúng
Sai
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là điểm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\).
Đúng
Sai
c) Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là \(510\,\,(m)\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đúng
Sai
d) Nếu điều chỉnh dây phao sao cho khoảng cách từ trạm \(I\) đến dây phao \(AB\) bằng đúng chiều dài dây phao \(AB\) thì diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là \(605000\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) ĐÚNG
Theo bài \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)\)\( \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x = - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm \(D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)\) \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\)
Khi đó \(DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}} \approx 5,14\)
Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế từ \(D\) đến \(I\) là \(DI \approx 514\,\,\,(m)\). Vậy (a) đúng.
b) ĐÚNG
Đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x = 0\), và tiệm cận xiên là \(y = - x + 10\)
Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\). Vậy (b) đúng.
c) SAI
Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm sô \(f(x)\) với điểm \(I\). Ta có \(I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\). Đặt \(g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(g(x)\) với \(x > 0\)
\( \Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3,13\\x \approx - 2,80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3,13) \approx 5,0908\)
Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế \(IN \approx 509\,\,\left( m \right)\). Vậy (c) Sai.
d) ĐÚNG
Vì \(AB{\rm{//}}Ox\), nên \(A\,,\,B\) có cùng tung độ \( \Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}\). Nên dây phao \(AB\) nằm trên đường thẳng \(y = {y_0}\), và có \({x_A}\,,\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0\)
Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.\)
Chiều dài dây phao \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \)
Khoảng cách từ điểm \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\) đến dây phao \(AB\) là \(h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|\)
Dựa vào hình vẽ, trạm \(I\) nằm cao hơn dây phao \(AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)\), nên \(h = 8 - {y_0}\)
Theo giả thiết khoảng cách từ điểm \(I\) đến \(AB\) bằng chiều dài \(AB\), nên ta có:
\(h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \) (ĐK: \(8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8\))
\( \Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} = - 3\)
Vậy độ dài đáy \(AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11\)\( \Rightarrow h = 11\,\,\)
Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60,5\,\,\)(đvdt)
Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là
\(S = 60,5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})\)
Vậy (d) đúng.
Câu 2
a) [NB] Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông, vuông góc với trục thẳng đứng bằng \(196{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Đúng
Sai
b) [TH] Phương trình của đường cong Parabol \(y = f(x) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 14\).
Đúng
Sai
c) [VD] Thể tích của chiếc đèn lồng đó là \(12,95{\rm{ l\'i t}}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đúng
Sai
d) [VDC] Để đảm bảo an toàn, bác Nghĩa treo một chiếc bóng đèn sợi đốt hình cầu có tâm (được xem là một điểm) đặt trên trục thẳng đứng của lồng đèn và cách đáy \(22{\rm{ cm}}\). Bác quy định rằng để tránh làm cháy lớp giấy dán, khoảng cách từ mặt bóng đèn đến bất kỳ điểm nào trên lồng đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\). Bác có thể chọn chiếc bóng đèn có bán kính lớn nhất là \(2,8666{\rm{ cm}}\) (làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy).
Đúng
Sai
Lời giải
a) Đáp án: SAI
Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang
Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).
Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)
b) Đáp án: ĐÚNG
Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)
\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).
\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a = - 4 \Rightarrow a = - \frac{1}{{100}}\).
Vậy phương trình là: \(y = f(x) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).
c) Đáp án: ĐÚNG
Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).
Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).
Thể tích đèn lồng là:
\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)
\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)
\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)
Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.
d) Đáp án: ĐÚNG
Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.
Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).
Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là
\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}} = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)
Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).
\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)
\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)
Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).
Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).
Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên
\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)
\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)
Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập