PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Trong hệ trục \(Oxy\) đường biên của một hòn đảo được mô hình hoá bởi hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)\) (đơn vị mỗi trục là \(100\,(m)\)). Ban quản lí hòn đảo muốn quây một vùng tam giác an toán để người dân có thể vui chơi và tắm biển ở khu vực đó. Đặt cố định một điểm ngoài biển toạ độ \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\) sau đó căng hai tấm lưới bảo vệ \(IA\,,\,IB\) với hai điểm \(A\,,\,B\)\(\left( {{x_A} > {x_B} > 0} \right)\) nằm trên đường biên và luôn thoả mãn \(AB{\rm{//}}Ox\).

a) Đáp án: SAI

Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Đáp án: ĐÚNG

Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)

\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).

\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a =  - 4 \Rightarrow a =  - \frac{1}{{100}}\).

Vậy phương trình là: \(y = f(x) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).

c) Đáp án: ĐÚNG

Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).

Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).

Thể tích đèn lồng là:

\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)

\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)

\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.

d) Đáp án: ĐÚNG

Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.

Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là

\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}}  = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)

Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).

\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)

\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)

Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).

Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên

\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)

\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)

Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 7,49

Bước 1: Xác định phương trình hàm số \(y = f(x)\)

 Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba.

 Quan sát ta thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ \(O(0,0)\) và đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(C(3,0)\). Vậy \(f(x) = k\left( {x - 3} \right).{x^2} = k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\).

 Phần đồ thị nhánh cuối đi xuống nên \(k < 0\), ta có \(f(x) = k{x^3} - 3k{x^2}\) và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right)\)

Và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_B} = 2,{y_B} =  - 4k \Rightarrow B\left( {2; - 4k} \right)\)

Bước 2: Sử dụng dữ kiện chi phí để tìm \(k\)

 Diện tích mảnh vườn (phần nằm dưới đồ thị \(f(x)\) từ \(x = 0\) đến \(x = 3\)):

\({S_1} = \int_0^3 {k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x =  - \frac{{27}}{4}k{\rm{(dvdt)}}\)

 Diện tích hồ bơi \({S_2} = \int_0^2 {\left[ { - 4k - k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right]} dx =  - 4k{\rm{ (dvdt)}}\)

 Vì mỗi đơn vị trục tọa độ là 10m, nên \(1\) đvdt \( = 10{\rm{m}}.10{\rm{m}} = 100{{\rm{m}}^2}\).

 Diện tích thực tế: \({S_{vu\`o n}} =  - 675k\;({{\rm{m}}^2})\) và \({S_{h\^o }} =  - 400k\;({{\rm{m}}^2})\).

 Tổng chi phí:

\( - 400k.400.000 - 675k.200.000 = 295.000.000 \Rightarrow  - 295.000.000k = 295.000.000 \Rightarrow k =  - 1\)

 Vậy phương trình đường cong ranh giới là: \(f(x) =  - {x^3} + 3{x^2}\).

Bước 3: Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn đường \[MN\]

Ý tưởng: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đồ thị đạt được khi đoạn thẳng nối hai điểm đó là “đoạn vuông góc chung”, tức là đoạn thẳng đó lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến của hai đồ thị tại hai điểm đó.

Điều này đồng nghĩa với việc, tại điểm \[M\] và điểm \[N\] đó, ta sẽ có 2 tính chất sinh tử:

1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại \[M\] và tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = g(x)\) tại \[N\] phải song song với nhau.

2. Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với cả hai tiếp tuyến đó.

Gọi tọa độ hai điểm \[M\] và \[N\]

 Gọi điểm \(M(a; - {a^3} + 3{a^2})\) thuộc đường cong \(({C_1})\) (đồ thị hàm số \(y = f(x)\)).

 Gọi điểm \(N\left( {b;1 + \frac{3}{{b - 2}}} \right)\) thuộc đường cong \(({C_2})\) (đồ thị hàm số \(y = g(x)\)), với điều kiện \(b > 2\).

Dùng điều kiện "Tiếp tuyến song song" để rút gọn ẩn

Hai tiếp tuyến tại \(M\) và \(N\) song song với nhau khi và chỉ khi lần lượt đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) tại \(x = a\) và \(x = b\) bằng nhau:

\(f'(a) = g'(b)\)\( \Rightarrow  - 3{a^2} + 6a = \frac{{ - 3}}{{{{(b - 2)}^2}}}\)\( \Rightarrow {(b - 2)^2} = \frac{1}{{{a^2} - 2a}}\)

Vì \(b > 2\) nên \(b - 2 > 0\) và \(a > 2\), ta căn bậc hai hai vế: \(b - 2 = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\) \( \Rightarrow b = 2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\)

Lúc này, tọa độ điểm \(N\) được viết lại hoàn toàn theo ẩn \(a\): \(N\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }};1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} } \right)\)

Dùng điều kiện "Đoạn thẳng vuông góc" để chốt hạ

Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với tiếp tuyến tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\).

 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\) có hệ số góc là \(k = f'(a)\). Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;f'(a))\).

 Vectơ \(\overrightarrow {MN}  = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}) = (b - a;g(b) - f(a))\).

Vì \[MN\] vuông góc với tiếp tuyến nên tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0:

\(\overrightarrow {MN}  \cdot \vec u = 0\)\( \Leftrightarrow (b - a) \cdot 1 + (g(b) - f(a)) \cdot f'(a) = 0\)

Thay số và giải phương trình (Kết hợp máy tính)

Thay toàn bộ \(b\), \(f(a)\), \(g(b)\), và \(f'(a)\) theo biến \(a\) vào phương trình trên:

\(\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right) + \left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a}  - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right) \cdot ( - 3{a^2} + 6a) = 0\)

 Bấm máy dò được nghiệm: \(a \approx 2,369\)

Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a}  - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right)}^2}}  \approx 0,749\)

 Đổi ra thực tế: \(0,749 \times 10 = 7,49\) mét.