Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao \(40{\rm{ cm}}\) để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh \({L_0} = 10\sqrt 2 {\rm{ cm}}\). Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\). Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol \(y = f(x)\) trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục \(Oxy\) với trục \(Ox\) biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị mỗi trục là \(1{\rm{ cm}}\)).

a) ĐÚNG

Theo bài \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)\)\( \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x =  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm \(D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)\) \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\)

Khi đó \(DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}}  \approx 5,14\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế từ \(D\) đến \(I\) là \(DI \approx 514\,\,\,(m)\). Vậy (a) đúng.

b) ĐÚNG

Đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x = 0\), và tiệm cận xiên là \(y =  - x + 10\)

Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\). Vậy (b) đúng.

c) SAI

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm sô \(f(x)\) với điểm \(I\). Ta có \(I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\). Đặt \(g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\).

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(g(x)\) với \(x > 0\)

\( \Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3,13\\x \approx  - 2,80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3,13) \approx 5,0908\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế \(IN \approx 509\,\,\left( m \right)\). Vậy (c) Sai.

d) ĐÚNG

Vì \(AB{\rm{//}}Ox\), nên \(A\,,\,B\) có cùng tung độ \( \Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}\). Nên dây phao \(AB\) nằm trên đường thẳng \(y = {y_0}\), và có \({x_A}\,,\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.\)

Chiều dài dây phao \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}}  = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \)

Khoảng cách từ điểm \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\) đến dây phao \(AB\) là \(h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|\)

Dựa vào hình vẽ, trạm \(I\) nằm cao hơn dây phao \(AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)\), nên \(h = 8 - {y_0}\)

Theo giả thiết khoảng cách từ điểm \(I\) đến \(AB\) bằng chiều dài \(AB\), nên ta có:

\(h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \) (ĐK: \(8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8\))

\( \Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} =  - 3\)

Vậy độ dài đáy \(AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11\)\( \Rightarrow h = 11\,\,\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60,5\,\,\)(đvdt)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là

\(S = 60,5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})\)

Vậy (d) đúng.

Đáp án: 7,49

Bước 1: Xác định phương trình hàm số \(y = f(x)\)

 Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba.

 Quan sát ta thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ \(O(0,0)\) và đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(C(3,0)\). Vậy \(f(x) = k\left( {x - 3} \right).{x^2} = k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\).

 Phần đồ thị nhánh cuối đi xuống nên \(k < 0\), ta có \(f(x) = k{x^3} - 3k{x^2}\) và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right)\)

Và \(f'(x) = 3k\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_B} = 2,{y_B} =  - 4k \Rightarrow B\left( {2; - 4k} \right)\)

Bước 2: Sử dụng dữ kiện chi phí để tìm \(k\)

 Diện tích mảnh vườn (phần nằm dưới đồ thị \(f(x)\) từ \(x = 0\) đến \(x = 3\)):

\({S_1} = \int_0^3 {k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x =  - \frac{{27}}{4}k{\rm{(dvdt)}}\)

 Diện tích hồ bơi \({S_2} = \int_0^2 {\left[ { - 4k - k\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right]} dx =  - 4k{\rm{ (dvdt)}}\)

 Vì mỗi đơn vị trục tọa độ là 10m, nên \(1\) đvdt \( = 10{\rm{m}}.10{\rm{m}} = 100{{\rm{m}}^2}\).

 Diện tích thực tế: \({S_{vu\`o n}} =  - 675k\;({{\rm{m}}^2})\) và \({S_{h\^o }} =  - 400k\;({{\rm{m}}^2})\).

 Tổng chi phí:

\( - 400k.400.000 - 675k.200.000 = 295.000.000 \Rightarrow  - 295.000.000k = 295.000.000 \Rightarrow k =  - 1\)

 Vậy phương trình đường cong ranh giới là: \(f(x) =  - {x^3} + 3{x^2}\).

Bước 3: Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn đường \[MN\]

Ý tưởng: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đồ thị đạt được khi đoạn thẳng nối hai điểm đó là “đoạn vuông góc chung”, tức là đoạn thẳng đó lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến của hai đồ thị tại hai điểm đó.

Điều này đồng nghĩa với việc, tại điểm \[M\] và điểm \[N\] đó, ta sẽ có 2 tính chất sinh tử:

1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại \[M\] và tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = g(x)\) tại \[N\] phải song song với nhau.

2. Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với cả hai tiếp tuyến đó.

Gọi tọa độ hai điểm \[M\] và \[N\]

 Gọi điểm \(M(a; - {a^3} + 3{a^2})\) thuộc đường cong \(({C_1})\) (đồ thị hàm số \(y = f(x)\)).

 Gọi điểm \(N\left( {b;1 + \frac{3}{{b - 2}}} \right)\) thuộc đường cong \(({C_2})\) (đồ thị hàm số \(y = g(x)\)), với điều kiện \(b > 2\).

Dùng điều kiện "Tiếp tuyến song song" để rút gọn ẩn

Hai tiếp tuyến tại \(M\) và \(N\) song song với nhau khi và chỉ khi lần lượt đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) tại \(x = a\) và \(x = b\) bằng nhau:

\(f'(a) = g'(b)\)\( \Rightarrow  - 3{a^2} + 6a = \frac{{ - 3}}{{{{(b - 2)}^2}}}\)\( \Rightarrow {(b - 2)^2} = \frac{1}{{{a^2} - 2a}}\)

Vì \(b > 2\) nên \(b - 2 > 0\) và \(a > 2\), ta căn bậc hai hai vế: \(b - 2 = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\) \( \Rightarrow b = 2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }}\)

Lúc này, tọa độ điểm \(N\) được viết lại hoàn toàn theo ẩn \(a\): \(N\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }};1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a} } \right)\)

Dùng điều kiện "Đoạn thẳng vuông góc" để chốt hạ

Đoạn thẳng \[MN\] phải vuông góc với tiếp tuyến tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\).

 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\) có hệ số góc là \(k = f'(a)\). Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;f'(a))\).

 Vectơ \(\overrightarrow {MN}  = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}) = (b - a;g(b) - f(a))\).

Vì \[MN\] vuông góc với tiếp tuyến nên tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0:

\(\overrightarrow {MN}  \cdot \vec u = 0\)\( \Leftrightarrow (b - a) \cdot 1 + (g(b) - f(a)) \cdot f'(a) = 0\)

Thay số và giải phương trình (Kết hợp máy tính)

Thay toàn bộ \(b\), \(f(a)\), \(g(b)\), và \(f'(a)\) theo biến \(a\) vào phương trình trên:

\(\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right) + \left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a}  - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right) \cdot ( - 3{a^2} + 6a) = 0\)

 Bấm máy dò được nghiệm: \(a \approx 2,369\)

Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 2a} }} - a} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3\sqrt {{a^2} - 2a}  - ( - {a^3} + 3{a^2})} \right)}^2}}  \approx 0,749\)

 Đổi ra thực tế: \(0,749 \times 10 = 7,49\) mét.