Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao \(40{\rm{ cm}}\) để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh \({L_0} = 10\sqrt 2 {\rm{ cm}}\). Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\). Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol \(y = f(x)\) trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục \(Oxy\) với trục \(Ox\) biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị mỗi trục là \(1{\rm{ cm}}\)).
a) [NB] Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông, vuông góc với trục thẳng đứng bằng \(196{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Đúng
Sai
b) [TH] Phương trình của đường cong Parabol \(y = f(x) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 14\).
Đúng
Sai
c) [VD] Thể tích của chiếc đèn lồng đó là \(12,95{\rm{ l\'i t}}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đúng
Sai
d) [VDC] Để đảm bảo an toàn, bác Nghĩa treo một chiếc bóng đèn sợi đốt hình cầu có tâm (được xem là một điểm) đặt trên trục thẳng đứng của lồng đèn và cách đáy \(22{\rm{ cm}}\). Bác quy định rằng để tránh làm cháy lớp giấy dán, khoảng cách từ mặt bóng đèn đến bất kỳ điểm nào trên lồng đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\). Bác có thể chọn chiếc bóng đèn có bán kính lớn nhất là \(2,8666{\rm{ cm}}\) (làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy).
Đúng
Sai
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đáp án: SAI
Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang
Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).
Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)
b) Đáp án: ĐÚNG
Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)
\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).
\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a = - 4 \Rightarrow a = - \frac{1}{{100}}\).
Vậy phương trình là: \(y = f(x) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).
c) Đáp án: ĐÚNG
Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).
Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).
Thể tích đèn lồng là:
\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)
\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)
\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)
Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.
d) Đáp án: ĐÚNG
Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.
Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).
Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là
\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}} = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)
Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).
\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)
\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)
Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).
Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).
Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên
\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)
\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)
Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: 15,8
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H = SK \cap C'D'\) khi đó \(H\) là trung điểm \(C'D'\). Do đó, \(IH\) là đường cao của hình thang cân \(ABC'D'\).
Gắn hệ trục \(Oxyz\) sao cho tia \(IB\), \(IH\) và \[IS\] lần lượt trùng với \[Ox,Oy,Oz\].
Suy ra, \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\)
Đặt \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha \), khi đó \(\widehat {KIH} = \alpha \).
Khi đó, \(K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)\), \(H\left( {0;4,5;0} \right)\).
Ta lại có, \(S,K,H\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {SK} = t.\overrightarrow {SH} = \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha = t.4,5\\3\sin \alpha - 4 = - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)
+ Với \(t = \frac{{14}}{{29}}\) thì \(SK = \frac{{14}}{{29}}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}\).
Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4,5}}{2} \approx 13,821\).
+ Với \(t = \frac{2}{5}\) thì \(SK = \frac{2}{5}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5\).
Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4,5}}{2} = 15,75 \approx 15,8\).
Vậy \(\max {S_{ABC'D'}} \approx 15,8\) \({m^2}\).
Lời giải
Đáp án: 37,1
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) hình vẽ
Ta có \(AB = 9\); \(BC = 3\).
Điểm \(C\left( {12;3;3} \right)\).
Điểm \(O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8\).
Điểm \(D\left( {0;8;3} \right)\). Điểm \(E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8\)
Ta tính \(CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \).
\(DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} \)
\(DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \)
\(EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0,5\)
Vì vậy tổng độ dài dây điện là
\(\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22,5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} - z\end{array}\).
Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra
\({\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}\).
Vì \(C,D\)nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm \(C'\left( {12;3;5} \right)\) điểm đối xứng với \(C\) qua mặt phẳng mái che.
Đường thẳng \(DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\), giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là \(O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} - z;z \in \left[ {0;8} \right]\). Ta có đạo hàm
\(f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0\). Suy ra \(f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}} - 8\).
Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là
\( = 22,5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}} + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}} - 8 \approx 37,1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Đỉnh cao nhất của hòn đảo (điểm cực đại của đồ thị hàm số) cách \(I\) một khoảng \(514\,\,(m)\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đúng
Sai
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là điểm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\).
Đúng
Sai
c) Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là \(510\,\,(m)\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đúng
Sai
d) Nếu điều chỉnh dây phao sao cho khoảng cách từ trạm \(I\) đến dây phao \(AB\) bằng đúng chiều dài dây phao \(AB\) thì diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là \(605000\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a) [NB] Xác suất để người đó có kết quả Âm tính là \(0,98\).
Đúng
Sai
b) [TH] Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh, biết rằng kết quả xét nghiệm là Âm tính, bằng \(0,98\).
Đúng
Sai
c) [TH] Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh là \(0,8684\).
Đúng
Sai
d) [VD,VDC]Xác suất để người đó có kết quả Âm tính, biết rằng người đó thực sự không nhiễm bệnh bé hơn \(0,99\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập