Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật \(MNPQ\) có chiều dài \(MQ = 12m,MN = 8m\). Để cung cấp điện cho hĉ̣ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điç̂n theo trình tự: \(A \to B \to C \to O \to D \to E \to F \to H\) (như hình vẽ bên). Trong đó:

Ÿ Điểm \(A\) nằm trên cột cổng cao 3 m, vị trí chân cột cách cây Nêu 3 m và chân cột nằm trên đoạn \(MQ\).

Ÿ Đoạn BC nằm trên bức tường hình chữ nhật \(PQIJ\) có \(PJ = 4m\) (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài \(BC = 3m\) và \(BC{\rm{//}}IJ\).

Ÿ Điểm \(O\) nằm trên mái che hình chữ nhật \(IJUV\) có \(JU = 10{\rm{\;m}}\) (mái che song song với mặt đất).

Ÿ Cột đèn đặt tại góc \(N\) và điểm \(D\) nằm trên cột đèn cao \(3m\).

Ÿ Điểm \(E,F\) nằm trên thân cây Nêu sao cho \(EF = 2{\rm{\;m}}\). Cây Nêu \(MG\) vuông góc với đất tại \(M\), chiều cao \(MG = 10m\).

Điểm \(H\) cách đỉnh \(G\) một khoảng \(HG = 0,5m\) (\(HG\) song song với mặt đất).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Đáp án: 15,8

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H = SK \cap C'D'\) khi đó \(H\) là trung điểm \(C'D'\). Do đó, \(IH\) là đường cao của hình thang cân \(ABC'D'\).

Gắn hệ trục \(Oxyz\) sao cho tia \(IB\), \(IH\) và \[IS\] lần lượt trùng với \[Ox,Oy,Oz\].

Suy ra, \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\)

Đặt \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha \), khi đó \(\widehat {KIH} = \alpha \).

Khi đó, \(K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)\), \(H\left( {0;4,5;0} \right)\).

Ta lại có, \(S,K,H\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {SK}  = t.\overrightarrow {SH}  = \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha  = t.4,5\\3\sin \alpha  - 4 =  - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

+ Với \(t = \frac{{14}}{{29}}\) thì \(SK = \frac{{14}}{{29}}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4,5}}{2} \approx 13,821\).

+ Với \(t = \frac{2}{5}\) thì \(SK = \frac{2}{5}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4,5}}{2} = 15,75 \approx 15,8\).

Vậy \(\max {S_{ABC'D'}} \approx 15,8\) \({m^2}\).

Đáp án: 71.

Xác định không gian mẫu:

+ Số cách để sau 4 bước đi, Mã quay về ô D4 (Bước 3 và 4 chỉ có \(1\) cách đi để quay về ô D4):

Ÿ Bước 1 có \(8\) cách đi.

Ÿ Bước 2 có \(6\) cách đi.

Ÿ Trừ ra \(4\) cách đi Mã vượt khỏi giới hạn bàn cờ.

\( \Rightarrow \) Có \(8 \times 6 - 4 = 44\) cách đi.

+ Số cách để sau 3 bước đi, Vua quay về ô F6 (Bước 3 chỉ có \(1\) cách đi để quay về ô F6):

Ÿ Vua đi ngang hoặc dọc: Bước 1 có \(4\) cách đi, Bước 2 có \(4\) cách đi.

Ÿ Vua đi chéo: Bước 1 có \(4\) cách đi, Bước 2 có \(2\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(4 \times 4 + 4 \times 2 = 24\) cách đi.

+ Số phần tử không gian mẫu: \(44 \times 24 = 1056\) cách đi.

Xác định các trường hợp thuận lợi:

Mã và Vua có thể cùng đứng ở các ô E5, E6, E7, F5, G5, G7.

+ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6/F5:

Ÿ Mã: Bước 2 có có \(6\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 2 có có \(4\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48\) cách đi.

+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:

Ÿ Mã: Bước 1 có \(2\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 2 có \(2\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16\) cách đi.

+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:

Ÿ Mã: Bước 1 có \(2\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 1 có \(2\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16\) cách đi.

+ Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6/F5:

Ÿ Mã: Bước 1 có \(6\) cách đi.

Ÿ Vua: Bước 1 có \(4\) cách đi.

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48\) cách đi.

+ Các trường hợp tính trùng:

Ÿ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô F5.

Ÿ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô F5, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6.

Do đó, có \(48 + 16 + 16 + 48 - 2 = 126\) cách đi thỏa mãn.

Xác suất cần tìm: \(\frac{{126}}{{1056}} = \frac{{21}}{{176}} = \frac{a}{b} \Rightarrow b - 5a = 176 - 5 \times 21 = 71\).