Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật \(MNPQ\) có chiều dài \(MQ = 12m,MN = 8m\). Để cung cấp điện cho hĉ̣ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điç̂n theo trình tự: \(A \to B \to C \to O \to D \to E \to F \to H\) (như hình vẽ bên). Trong đó:

Ÿ Điểm \(A\) nằm trên cột cổng cao 3 m, vị trí chân cột cách cây Nêu 3 m và chân cột nằm trên đoạn \(MQ\).

Ÿ Đoạn BC nằm trên bức tường hình chữ nhật \(PQIJ\) có \(PJ = 4m\) (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài \(BC = 3m\) và \(BC{\rm{//}}IJ\).

Ÿ Điểm \(O\) nằm trên mái che hình chữ nhật \(IJUV\) có \(JU = 10{\rm{\;m}}\) (mái che song song với mặt đất).

Ÿ Cột đèn đặt tại góc \(N\) và điểm \(D\) nằm trên cột đèn cao \(3m\).

Ÿ Điểm \(E,F\) nằm trên thân cây Nêu sao cho \(EF = 2{\rm{\;m}}\). Cây Nêu \(MG\) vuông góc với đất tại \(M\), chiều cao \(MG = 10m\).

Điểm \(H\) cách đỉnh \(G\) một khoảng \(HG = 0,5m\) (\(HG\) song song với mặt đất).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

a) ĐÚNG

Theo bài \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)\)\( \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x =  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm \(D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)\) \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\)

Khi đó \(DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}}  \approx 5,14\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế từ \(D\) đến \(I\) là \(DI \approx 514\,\,\,(m)\). Vậy (a) đúng.

b) ĐÚNG

Đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x = 0\), và tiệm cận xiên là \(y =  - x + 10\)

Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\). Vậy (b) đúng.

c) SAI

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm sô \(f(x)\) với điểm \(I\). Ta có \(I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\). Đặt \(g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\).

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(g(x)\) với \(x > 0\)

\( \Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3,13\\x \approx  - 2,80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3,13) \approx 5,0908\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế \(IN \approx 509\,\,\left( m \right)\). Vậy (c) Sai.

d) ĐÚNG

Vì \(AB{\rm{//}}Ox\), nên \(A\,,\,B\) có cùng tung độ \( \Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}\). Nên dây phao \(AB\) nằm trên đường thẳng \(y = {y_0}\), và có \({x_A}\,,\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.\)

Chiều dài dây phao \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}}  = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \)

Khoảng cách từ điểm \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\) đến dây phao \(AB\) là \(h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|\)

Dựa vào hình vẽ, trạm \(I\) nằm cao hơn dây phao \(AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)\), nên \(h = 8 - {y_0}\)

Theo giả thiết khoảng cách từ điểm \(I\) đến \(AB\) bằng chiều dài \(AB\), nên ta có:

\(h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \) (ĐK: \(8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8\))

\( \Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} =  - 3\)

Vậy độ dài đáy \(AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11\)\( \Rightarrow h = 11\,\,\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60,5\,\,\)(đvdt)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là

\(S = 60,5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})\)

Vậy (d) đúng.

a) Đáp án: SAI

Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Đáp án: ĐÚNG

Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)

\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).

\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a =  - 4 \Rightarrow a =  - \frac{1}{{100}}\).

Vậy phương trình là: \(y = f(x) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).

c) Đáp án: ĐÚNG

Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).

Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).

Thể tích đèn lồng là:

\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)

\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)

\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.

d) Đáp án: ĐÚNG

Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.

Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là

\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}}  = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)

Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).

\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)

\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)

Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).

Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên

\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)

\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)

Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).