PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Mã tại ô D4 và một quân Vua tại ô F6. Quy ước rằng trong trò chơi này, hai quân cờ không ăn nhau. Trò chơi được tiến hành như sau:

Ÿ Thông: Thực hiện hành trình 4 bước đi sao cho các ô đi qua trong 3 bước đầu không trùng nhau và sau bước thứ 4 Mã phải quay về lại đúng vị trí D4 ban đầu.

Ÿ Nghĩa: Thực hiện hành trình 3 bước đi và sau bước thứ 3 Vua phải quay về lại đúng vị trí F6 ban đầu.

Ÿ Trình tự: Hai quân di chuyển xen kẽ nhau, bắt đầu bằng Mã. Cụ thể: Mã đi bước 1 tiếp đến Vua đi bước 1, Mã đi bước 2 tiếp đến Vua đi bước 2,. cho đến khi cả hai hoàn tất hành trình.

Xác suất để trong suốt quá trình di chuyển trên, có ít nhất một thời điểm Mã và Vua cùng đứng trên một ô cờ có dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\)\(\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Hãy tính giá trị của \(b - 5a\).

Cách di chuyển của quân Mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật 2 × 3 ô vuông (hoặc 3 × 2 ô vuông).

Cách di chuyển của quân Vua: Vua có thể di chuyển sang bất kỳ ô liền kề chung cạnh hoặc chung đỉnh xung quanh nó theo hướng ngang, dọc hoặc chéo.

a) ĐÚNG

Theo bài \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)\)\( \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x =  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm \(D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)\) \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\)

Khi đó \(DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}}  \approx 5,14\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế từ \(D\) đến \(I\) là \(DI \approx 514\,\,\,(m)\). Vậy (a) đúng.

b) ĐÚNG

Đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x = 0\), và tiệm cận xiên là \(y =  - x + 10\)

Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm \(M\,\left( {0\,;\,10} \right)\). Vậy (b) đúng.

c) SAI

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm \(I\) là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm sô \(f(x)\) với điểm \(I\). Ta có \(I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\). Đặt \(g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}\).

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(g(x)\) với \(x > 0\)

\( \Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3,13\\x \approx  - 2,80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3,13) \approx 5,0908\)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên khoảng cách thực tế \(IN \approx 509\,\,\left( m \right)\). Vậy (c) Sai.

d) ĐÚNG

Vì \(AB{\rm{//}}Ox\), nên \(A\,,\,B\) có cùng tung độ \( \Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}\). Nên dây phao \(AB\) nằm trên đường thẳng \(y = {y_0}\), và có \({x_A}\,,\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.\)

Chiều dài dây phao \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}}  = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \)

Khoảng cách từ điểm \(I\,\left( {2\,;\,8} \right)\) đến dây phao \(AB\) là \(h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|\)

Dựa vào hình vẽ, trạm \(I\) nằm cao hơn dây phao \(AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)\), nên \(h = 8 - {y_0}\)

Theo giả thiết khoảng cách từ điểm \(I\) đến \(AB\) bằng chiều dài \(AB\), nên ta có:

\(h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} \) (ĐK: \(8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8\))

\( \Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} =  - 3\)

Vậy độ dài đáy \(AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11\)\( \Rightarrow h = 11\,\,\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60,5\,\,\)(đvdt)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là \(100\,(m)\), nên diện tích vùng an toàn \(\Delta \,IAB\) là

\(S = 60,5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})\)

Vậy (d) đúng.

a) Đáp án: SAI

Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Đáp án: ĐÚNG

Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)

\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).

\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a =  - 4 \Rightarrow a =  - \frac{1}{{100}}\).

Vậy phương trình là: \(y = f(x) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).

c) Đáp án: ĐÚNG

Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).

Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).

Thể tích đèn lồng là:

\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)

\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)

\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)

Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.

d) Đáp án: ĐÚNG

Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.

Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2  \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là

\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}}  = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)

Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).

\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)

\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)

Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).

Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên

\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)

\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)

Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).