PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Mã tại ô D4 và một quân Vua tại ô F6. Quy ước rằng trong trò chơi này, hai quân cờ không ăn nhau. Trò chơi được tiến hành như sau:

Ÿ Thông: Thực hiện hành trình 4 bước đi sao cho các ô đi qua trong 3 bước đầu không trùng nhau và sau bước thứ 4 Mã phải quay về lại đúng vị trí D4 ban đầu.

Ÿ Nghĩa: Thực hiện hành trình 3 bước đi và sau bước thứ 3 Vua phải quay về lại đúng vị trí F6 ban đầu.

Ÿ Trình tự: Hai quân di chuyển xen kẽ nhau, bắt đầu bằng Mã. Cụ thể: Mã đi bước 1 tiếp đến Vua đi bước 1, Mã đi bước 2 tiếp đến Vua đi bước 2,. cho đến khi cả hai hoàn tất hành trình.

Xác suất để trong suốt quá trình di chuyển trên, có ít nhất một thời điểm Mã và Vua cùng đứng trên một ô cờ có dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\)\(\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Hãy tính giá trị của \(b - 5a\).

Cách di chuyển của quân Mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật 2 × 3 ô vuông (hoặc 3 × 2 ô vuông).

Cách di chuyển của quân Vua: Vua có thể di chuyển sang bất kỳ ô liền kề chung cạnh hoặc chung đỉnh xung quanh nó theo hướng ngang, dọc hoặc chéo.

Đáp án: 15,8

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H = SK \cap C'D'\) khi đó \(H\) là trung điểm \(C'D'\). Do đó, \(IH\) là đường cao của hình thang cân \(ABC'D'\).

Gắn hệ trục \(Oxyz\) sao cho tia \(IB\), \(IH\) và \[IS\] lần lượt trùng với \[Ox,Oy,Oz\].

Suy ra, \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\)

Đặt \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha \), khi đó \(\widehat {KIH} = \alpha \).

Khi đó, \(K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)\), \(H\left( {0;4,5;0} \right)\).

Ta lại có, \(S,K,H\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {SK}  = t.\overrightarrow {SH}  = \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha  = t.4,5\\3\sin \alpha  - 4 =  - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

+ Với \(t = \frac{{14}}{{29}}\) thì \(SK = \frac{{14}}{{29}}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4,5}}{2} \approx 13,821\).

+ Với \(t = \frac{2}{5}\) thì \(SK = \frac{2}{5}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4,5}}{2} = 15,75 \approx 15,8\).

Vậy \(\max {S_{ABC'D'}} \approx 15,8\) \({m^2}\).

Đáp án: 37,1

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) hình vẽ

Ta có \(AB = 9\); \(BC = 3\).

Điểm \(C\left( {12;3;3} \right)\).

Điểm \(O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8\).

Điểm \(D\left( {0;8;3} \right)\). Điểm \(E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8\)

Ta tính \(CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \).

\(DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} \)

\(DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \)

\(EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0,5\)

Vì vậy tổng độ dài dây điện là

\(\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22,5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z\end{array}\).

Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra

\({\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}\).

Vì \(C,D\)nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm \(C'\left( {12;3;5} \right)\) điểm đối xứng với \(C\) qua mặt phẳng mái che.

Đường thẳng \(DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\), giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là \(O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z;z \in \left[ {0;8} \right]\). Ta có đạo hàm

\(f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0\). Suy ra \(f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8\).

Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là

\( = 22,5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8 \approx 37,1\).