Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau). Biết cạnh của chiếc hộp bằng \(30{\rm{\;cm}}\). Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp bằng bao nhiêu \({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)(mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}}  = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Do \(A'B\,{\rm{//}}\,D'C\) nên góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'B\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(D'C\).

Xét tam giác \(ACD'\), ta có \(AC = AD' = CD'\) (cùng là đường chéo của 3 hình vuông bằng nhau) nên tam giác \(ACD'\) đều. Do đó \(\widehat {ACD'} = 60^\circ \).

Vậy, \(\left( {AC,A'B} \right) = \left( {AC,D'C} \right) = \widehat {ACD'} = 60^\circ .\)