Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0\).

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).

Do đó số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {OH} = \left( {3; - 1;2} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \frac{1}{{14}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).

\(\sin \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 1} \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \beta \approx 26,5^\circ < 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;0} \right)\).

\(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.m + \left( { - 1} \right).0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \sin 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \( - \frac{8}{5}\).