Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (xem hình vẽ) được đặt ở vị trí \(I\left( {25;30;50} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng \(R = 5\;{\rm{km}}\).

a) Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\).

b) Chứng minh rằng điểm \(A\left( {1025;30;50} \right)\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Một người đi biển ở vị trí \(M\left( {45;60;50} \right)\) có được chiếu sáng bởi sánh sáng của ngọn hải đăng không?

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Giả sử đường bay của máy bay số 1 là \(\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 20 + 2t\\y = 20 + t\\z = - 10 - t\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đường bay của máy bay số 2 thỏa mãn \(\left( {30 + t';20 + t', - 10 - t'} \right) \in {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + t'\\y = 20 + t'\\z = - 10 - t'\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

b) Kể từ thời điểm xuất phát, để hai máy bay gần nhau nhất thì hai máy bay phải gần tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}20 + 2t = 30 + t'\\20 + t = 20 + t'\\ - 10 - t = - 10 - t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - t' = 10\\t - t' = 0\\ - t + t' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = t' = 10\).

Vậy sau 10 giờ thì hai máy bay gần nhau nhất.

c) Nếu máy bay số một vẫn ở phi trường thì thời điểm lúc đó là 0 giờ \( \Rightarrow t = 0\) thay vào phương trình đường thẳng \({\Delta _1}\) ta được $\left\{\begin{array}{l}x=20+2.0\\ y=20+0\\ z=-10-0\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=20\\ y=20\\ z=-10\end{array}\right.$

Suy ra vị trí tọa độ của máy bay là \(\left( {20;20; - 10} \right)\).

d) Vị trí tọa độ máy bay số 2 sau 5 giờ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 5\\y = 20 + 5\\z = - 10 - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 25\\z = - 15\end{array} \right.\).

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).

Do đó số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {OH} = \left( {3; - 1;2} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \frac{1}{{14}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).

\(\sin \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 1} \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \beta \approx 26,5^\circ < 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;0} \right)\).

\(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.m + \left( { - 1} \right).0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \sin 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \( - \frac{8}{5}\).