Trong không gian \(Oxyz\), hai máy bay cùng xuất phát từ hai phi trường, trên màn hình rađa của trạm điều khiển (với đơn vị trên ba trục chính theo đơn vị km), sau khi xuất phát \(t\) giờ \(\left( {t \ge 0} \right)\), vị trí của máy bay số một được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20 + 2t\\y = 20 + t\\z = - 10 - t\end{array} \right.\), vị trí máy bay số hai có tọa độ là \(\left( {30 + t';20 + t', - 10 - t'} \right)\).

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).

Do đó số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {OH} = \left( {3; - 1;2} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \frac{1}{{14}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).

\(\sin \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 1} \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \beta \approx 26,5^\circ < 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;0} \right)\).

\(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.m + \left( { - 1} \right).0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \sin 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \( - \frac{8}{5}\).

Trả lời: 0,74

Chọn đơn vị là \(a\).

Có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),S\left( {0;0;1} \right),M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2};0} \right)\).

Vectơ chỉ phương của \(\overrightarrow {MN} \) là \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Suy ra \(\sin \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {9 + 1} .\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).

Do đó \(\cos \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {55} }}{{10}} \approx 0,74\).