Cho \(\Delta ABC,\) \(\widehat A = 80^\circ ,AB = AC.\) \(M\) là điểm nằm trong tam giác sao cho \(\widehat {MBC} = 10^\circ ,\) \(\widehat {MCB} = 30^\circ \). Hỏi số đo của \(\widehat {AMB}\) bằng bao nhiêu độ?

Đáp án: 150

Dựng \(\Delta BDC\) đều (\(D,A\) cùng phía so với \(BC\)). Nối \(A\) với \(D\).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CDA\), có:

\(AB = AC\) (gt)

\(DA\) chung (gt)

\(AD = DC\) (gt)

Ta có \(\Delta ABD = \Delta CDA\) (c.c.c) nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} = 10^\circ \).

\(AM = DC\) (gt)

\(\widehat A\) chung (gt)

\(AM\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta AMC = \Delta CDA\) (c.g.c) nên \(\widehat {MCA} = \widehat {DAC} = 10^\circ \) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(\widehat {AMC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ACM} + \widehat {MAC}} \right) = 180^\circ  - \left( {20^\circ  + 10^\circ } \right) = 150^\circ \).

Vẽ \(\Delta ABD\) đều (\(B,D\) khác phía so với \(AC\)).

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) \(\widehat A = 40^\circ \) (gt)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 70^\circ \) mà \(\widehat {FBC} = 30^\circ \) (gt)

Suy ra \(\widehat {ABF} = 40^\circ \), \(\widehat {BAF} = 40^\circ \) do đó \(\Delta ABF\) cân tại \(F.\)

Suy ra \(AF = BF\), mặt khác \(AB = BD\), \(FD\) chung

Do đó, \(\Delta AFB = \Delta BFD\) (c.c.c) nên \(\widehat {ADF} = \widehat {BDF} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).