Cho điểm \(M\) nằm trong tam giác \(ABC\). Kẻ \(BM\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D.\)

a) Đúng.

Ta có: \(AH\) là đường vuông góc; \(AB,AC\) là các đường xiên.

Suy ra \(AH < AB;\,\,AH < AC\).

b) Đúng.

Từ a) ta có \(AH < AB;\,\,AH < AC\).

Do đó, \(AH + AH < AB + AC\) hay \(2AH < AB + AC.\)

c) Sai.

Ta có: \(BK \bot AC\) tại \(K\) suy ra \(BK\) là đường vuông góc; \(AB,BC\) là các đường xiên.

\(CL \bot AB\) tại \(L\) suy ra \(CL\) là đường vuông góc; \(AC,BC\) là các đường xiên.

Suy ra \(BK < AB;BK < BC\) do đó, \(2BK < AB + BC\) nên \(BK < \frac{1}{2}\left( {AB + BC} \right)\).

\(CL < AC;CL < BA\) do đó, \(2CL < AB + AC\) nên \(CL < \frac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\).

d) Đúng.

Có \(2AH < AB + AC\) nên \(AH < \frac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\).

Do đó, \(AH + BK + CL < \frac{1}{2}\left( {AB + AC + AC + BC + BC + AB} \right)\)

Hay \(AH + BK + CL < \frac{1}{2}\left( {2AB + 2AC + 2BC} \right)\)

Do đó, \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)

Đáp án: 4

Xét \(\Delta ABE\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat {AEB}\) (1)

Xét \(\Delta CED\) có \(\widehat C + \widehat D + \widehat {CED} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \widehat D - \widehat {CED}\) (2)

Mà \(\widehat {AEB} = \widehat {CED}\) (Hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat B = \widehat C\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DCE\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \)

\(AB = CD\)

\(\widehat B = \widehat C\)

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta DCE\) (g.c.g)

Suy ra \(AE = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(ED = 4{\rm{ cm}}\) nên \(EA = 4{\rm{ cm}}\).

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(EA\) (Vì \(AE \bot AB\) tại \(A\))

Vậy khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)