Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right),B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).    

Đáp án đúng là: C

\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right),B\left( { - 3;5;2} \right)\)và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mà \(A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0\).

Suy ra \(a = 2;b = 9;c = - 15\). Do đó \(a + b + c = - 4\).