Trong không gian \(Oxyz\), gọi đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( { - 1;0; - 1} \right)\) cắt \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) sao cho côsin góc giữa \(d\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}\) là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng \(d\) là :    

Đáp án đúng là: B

Giả sử \(d \cap {\Delta _1} = M \in {\Delta _1}\). Suy ra \(M\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right)\).

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2 + 2t;2 + t; - 1 - t} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

\(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;2;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _2}\).

Khi có \(\cos \left( {d,{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - t} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }}\)

\( = \frac{{\left| { - 2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }}\)\( = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}} \).

Xét hàm số \(y = \frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}\).

Có \(y' = \frac{{8t\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right) - \left( {12t + 14} \right)4{t^2}}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{48{t^3} + 112{t^2} + 72t - \left( {48{t^3} + 56{t^2}} \right)}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{56{t^2} + 72t}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\).

Có \(y' = 0 \Leftrightarrow 56{t^2} + 72t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow y = 0\\t =  - \frac{9}{7} \Rightarrow y = 7,2\end{array} \right.\).

Suy ra \({y_{\min }} \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {1;2; - 2} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).