Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right){\rm{: }}5x - 4y + z - 6 = 0,{\rm{ }}\left( Q \right):{\rm{ }}2x - y + z + 7 = 0\] và đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\]. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và \[\Delta \] sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là \[20\pi \] là:
A. \((S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
B. \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
C. \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{100}}{3}\).
D. \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\] . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: \[5\left( {1 + 7t} \right) - 4\left( {3t} \right) + \left( {1 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;0;1} \right)\].
Ta có : \[d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}\].
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: \[20\pi = \pi {r^2} \Leftrightarrow r = 2\sqrt 5 .\]
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I,\left( Q \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \frac{{\sqrt {330} }}{3}.\) Vậy (S) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(5x + 4y + 3z - 50 = 0\).
B. \(x + y + z = 0\).
C. \(x - y + z = 0\).
D. \(x + y + z - 12 = 0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;a;0} \right),\,C\left( {0;0;a} \right)\)\[\left( {a \ne 0} \right)\]là giao điểm của mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)và các tia \(Ox,\)\(Oy,\)\(Oz\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua A, B, C là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua điểm \(M\left( {5;4;3} \right) \Rightarrow a = 12\)
Ta có \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{12}} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 12 = 0\).
Lời giải
Trả lời: 0,74
Chọn đơn vị là \(a\).
Có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),S\left( {0;0;1} \right),M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2};0} \right)\).
Vectơ chỉ phương của \(\overrightarrow {MN} \) là \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Suy ra \(\sin \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {9 + 1} .\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
Do đó \(\cos \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {55} }}{{10}} \approx 0,74\).
Câu 3
A. \[\left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0\].
B. \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\].
C. \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 19 = 0\].
D. \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 8 = 0\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[\overrightarrow n = \left( {1;0;3} \right)\].
B.\[\overrightarrow n = \left( {1;0; - 3} \right)\].
C. \[\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\].
D.\[\overrightarrow n = \left( {3;0;1} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập