Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\).

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10; - 2;4} \right) = 2\left( {5; - 1;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 1;2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(5\left( {x - 1} \right) - y + 2\left( {z + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - y + 2z - 3 = 0\).

b) Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

c) Có \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt 6 \)\( \Rightarrow R = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 6 \).

Gọi \(I\left( {0; - 1;1} \right)\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó phương trình mặt cầu đường kính \(AC\) là \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

d) Có \(R = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \).

Phương trình mặt cầu có tâm \(A\) và đi qua \(B\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\).