Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn tại hai điểm \(A,\,\,B\). Lấy một điểm \(M\) trên tia đối của tia \(BA\) kẻ hai tiếp tuyến \(MC,\,\,MD\) với đường tròn \(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

a) Chứng minh rằng \(M,\,\,D,\,\,O,\,\,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Đoạn \(OM\) cắt đường tròn tại \(I.\) Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)

c) Đường thẳng qua \(O,\) vuông góc với \(OM\) cắt các tia \(MC,\,\,MD\) theo thứ tự tại \(P,\,\,Q.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên \(d\) sao cho diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất.

Độ dài của đường chéo hình vuông là: \[d = 2R = 2 \cdot 3 = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]

Độ dài cạnh hình vuông là: \[a = \sqrt {\frac{{{d^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{{6^2}}}{2}} = 3\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]

Diện tích hình vuông là: \[3\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 = 18\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\]

Vậy diện tích hình vuông là \[18{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

Đáp số: 215.

Gọi số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (sản phẩm) \[\left( {x \in \mathbb{N};\,\,x > 0} \right)\].

Thời gian sản xuất theo kế hoạch là \[\frac{{1505}}{x}\] (ngày)

Thực tế mỗi ngày phân xưởng sản được số sản phẩm là: \[x + 86\] (sản phẩm)

Thời gian sản xuất thực tế là \[\frac{{1505}}{{x + 86}}\] (ngày)

Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình: \[\frac{{1505}}{x} - \frac{{1505}}{{x + 86}} = 2\]

\[\frac{{1505\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}} - \frac{{1505x}}{{x\left( {x + 86} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}}\]

\[1505\left( {x + 86} \right) - 1505x = 2x\left( {x + 86} \right)\]

\[2{x^2} + 172x - 129\,\,430 = 0\]

\[{x^2} + 86x - 64\,\,715 = 0\]

\[x = 215\] (TMĐK) và \[x = - 301\] (loại).

Vậy số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[215\] sản phẩm.