Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).

Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.

(a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.

(b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?

a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\)

Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).

Do đó .

Suy ra \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = MB \cdot MC\).

Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]

Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)

c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp (\(\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \))

Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {HCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).

Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên \(\widehat {HCD} = \widehat {FEB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).

Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)\).

Lai có \(\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}\) (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).

Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].

Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); \(\widehat C\) chung.

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}\) hay \(MI \cdot MD = ME.MF\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MI \cdot MD = MK \cdot MT.\) hay \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)

Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MTI\) có \(\widehat C\) chung; \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)

Do đó (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\) (hai góc tương ứng).