Dân số của một quốc gia trong 2 năm tăng từ 30 triệu người lên 30 048 288 người. Hỏi hằng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)?

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

b) Ta có \(f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f\left( 1 \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{9}{5} - 3} \right) - {\log _3}\left( {5.1 - 3} \right) = {\log _3}6 - {\log _3}2 = {\log _3}3 = 1\).

c) Có \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}\) (thỏa mãn điều kiện câu a).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{6}{5}\).

d) Có \(f\left( x \right) \le 2\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 \le 9\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{12}}{5}\).

Kết hợp với điều kiện \(x > \frac{3}{5}\), ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{3}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình có đúng 2 số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).

Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).

Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).

Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).

d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).

Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).