Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x + 2y = - 5\end{array} \right.\] nhận cặp số nào sau đây là nghiệm?

Đáp án: 3

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.\]

Thay \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y\] vào phương trình (1), ta được:

\[m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1\]

\[2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1\]

\[\left( { - {m^2} + m} \right)y = - m + 1\]

\[ - m\left( {m - 1} \right)y = - \left( {m - 1} \right)\]

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \[m \ne 0\] và \[m \ne 1.\]

Khi đó ta có \[y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.\]

Suy ra \[x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.\]

Vì vậy \[G = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.\]

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{m}\] nhận giá trị nguyên.

Suy ra \[m \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\]

So với điều kiện \[m \ne 0\] và \[m \ne 1,\] ta nhận \[m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.\]

Do đó, có 3 giá trị thỏa mãn.

Đáp án: 1

Hệ phương trình cho điều kiện xác định là \(x \ne 0\) và \(y \ne 0.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, ta được hệ mới: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 14\\\frac{6}{x} - \frac{{15}}{y} = - 81\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

\(\frac{{19}}{y} = 95,\) suy ra \(\frac{1}{y} = 5\) nên \(y = \frac{1}{5}\) (thỏa mãn).

Thay \(\frac{1}{y} = 5\) vào phương trình \[\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7\], ta được:

\[\frac{3}{x} + 2 \cdot 5 = 7\] suy ra \[\frac{3}{x} = - 3\] nên \(x = - 1\) (thỏa mãn).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,\frac{1}{5}} \right)\).

Tổng bình phương của \(x\) và \(y\) là: \({\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{26}}{{25}} < 20\).

Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng là (i).