Mật khẩu mở điện thoại của bác Bình là một số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600.000. Bạn An được bác Bình cho biết thông tin ấy nhưng không cho biết mật khẩu chính xác là số nào nên quyết định thử bấm ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600.000. Tính xác suất để bạn An nhập một lần duy nhất mà đúng mật khẩu để mở được điện thoại của bác Bình.

Hướng dẫn giải

Đặt \(A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\)

Gọi số tự nhiên lẻ có 6 chữ số là \(x = \overline {abcdef} \) với \(a,b,c,d,e,f\) thuộc \(A,a \ne 0\) và \(f \in B = \left\{ {1,3,5,7,9} \right\}\)

Vì \(x < 600.000\) nên \(a \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\).

* Trường hợp 1:

\(a \in \left\{ {1,3,5} \right\} \Rightarrow a\) có 3 cách chọn.

\(f \ne a\) và \(f \in B \Rightarrow f\) có 4 cách chọn.

Mỗi bộ \(\overline {bcde} \) là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử còn lại thuộc tập \(A \Rightarrow \) có \(A_8^4\) cách chọn.

Trường hợp này có \(3 \cdot 4 \cdot A_8^4 = 20160\) số.

* Trường hợp 2 :

\(a \in \left\{ {2,4} \right\} \Rightarrow a\) có 2 cách chọn.

\(f \in B \Rightarrow f\) có 5 cách chọn.

Mỗi bộ \(\overline {bcde} \) là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử còn lại của tập \(A \Rightarrow \) có \(A_8^4\) cách chọn.

Trường hợp này có \(2.5 \cdot A_8^4 = 16800\) số.

Vậy có tất cả \(20160 + 16800 = 36960\) số tự nhiên lẻ có 6 chữ số.

Gọi \({\rm{C}}\) là biến cố bạn An nhập một lần theo gợi ý của bác Bình mà đúng mật khẩu mở điện thoại.

Ta có \(n(\Omega ) = 36960;\,\,n(C) = 1\).

Vậy \(P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(C)}} = \frac{1}{{36960}}\).