Một chiếc lều cắm trại được thiết kế có dạng hình chóp tứ giác đều với thể tích là \(6\;{m^3}\). Bốn mặt bên của lều được may bằng vải bạt (hình minh họa). Để diện tích vải bạt cần dùng là nhỏ nhất, thì độ dài cạnh đáy gần nhất với giá trị nào sau đây?

Gọi cạnh đáy hình vuông là a, chiều cao là h.

Ta có \(HM = \frac{1}{2}a \Rightarrow SM = \sqrt {S{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{{{18}^2}}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}} .\)

Diện tích vải bạt cần dùng là

\(S = 4 \cdot \frac{1}{2}SM \cdot a = 2a \cdot \sqrt {\frac{{{{18}^2}}}{{{a^4}}} + \frac{{{a^2}}}{4}} = 2\sqrt {\frac{{{{18}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^4}}}{4}} .\)

Gọi \[f(a) = \frac{{{{18}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^4}}}{4},\,\,a > 0\]

\[ \Rightarrow f'(a) = - \frac{{2 \cdot {{18}^2}}}{{{a^3}}} + 3{a^3} = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt[6]{{648}} \approx 2,94.\]

\( \Rightarrow {f_{\max }} \Leftrightarrow a = 2,94\)