Câu hỏi:

27/03/2026 19

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB},\) trung tuyến \[AM\]. Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[C\] là trung điểm của \[MD\]. Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[E\] sao cho \(BE = BA.\) Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[N\] sao cho \(MN = MA\).

(a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta NMC\) và \[CN \bot CA\].

(b) Gọi \[I\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

(c*) So sánh \[AD\] và \[BC\].

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆABC>ˆACB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có

\[MC = MB\] (gt)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (hai góc đối đỉnh)

\[MA = MN\] (gt)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\] (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong \(CN\,{\rm{//}}\,AB\).

Mà \[BA \bot CA\] nên \[CN \bot CA\].

b) Vì \[B\] là trung điểm của \[AE\] nên \[DB\] là đường trung tuyến của \(\Delta DAE\).

Ta có \[DC = CM,\,\,CM = MB\] nên \[DM = \frac{2}{3}DB\].

Do đó \[M\] là trọng tâm của \[\Delta DAE\]

Vì \[I\] là trung điểm của \[DE\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DAE\].

Mà \[M \in AI\] nên ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

c*) Vì \[\Delta AMB = \Delta NMC\] (cmt) nên \[AB = NC\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta ACN\] và \[\Delta CAB\] có

Cạnh \[CA\] chung ; \[\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ \], \[CN = AB\] (cmt)

Do đó \[\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

Suy ra \[AN = BC\] (hai cạnh tương ứng)

Nên \[\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\] hay \[AM = MC = MB\].

Do đó \[\Delta AMC\] và \[\Delta AMB\] cân tại \[M.\]

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• \[\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}\]

• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]

Vì \[\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {AMB} < \widehat {AMC}\].

Mà \[\widehat {AMB}\] và \[\widehat {AMC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AMC}\] là góc tù.

Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {AMD}\] là góc tù nên \[\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.\]

Suy ra \[AD > MD\] (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Lại có \[MB = MC = CD\] nên \[MB + MC = MC + CD\].

Do đó \[BC = MD\] (đpcm).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

(a) \(A\left( x \right) = 2x - 1\).

(b) \(B\left( x \right) = 3 - \frac{5}{6}x\).

(c) \(C\left( x \right) = {x^2} - 1\).

(d) \(D\left( x \right) = 8{x^3} + 27\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\) thì \(2x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\).

b) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\) thì \(3 - \frac{5}{6}x = 0\) nên \(\frac{5}{6}x = 3\) hay \(x = \frac{{18}}{5}\).

Vậy \(x = \frac{{18}}{5}\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

c) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) thì \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\) hay \(x = \pm 1\).

Vậy \(x = \pm 1\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).

d) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\) thì \(8{x^3} + 27 = 0\) nên \({x^3} = \frac{{ - 27}}{8}\) nên \(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(x = - \frac{3}{2}\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\).

Câu 2

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC,E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (c) DE song song với AB. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

Câu 3