Cho các số \[x,y\] thỏa mãn \[{x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0.\] Tính giá trị biểu thức: \[A = \frac{{{{\left( {x + y - 4} \right)}^{2\,\,024}} - {y^{2\,\,024}}}}{x}.\]

Ta có \[{x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\]

\[2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\]

\[{x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\]

\[{\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\] \(\left( 1 \right)\)

Vì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} \ge 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} \ge 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} \ge 0}\end{array}} \right.\] nên phương trình \(\left( 1 \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\]

Khi đó \[A = \frac{{{{\left( {x + y - 4} \right)}^{2024}} - {y^{2024}}}}{x} = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2024}} - {1^{2024}}}}{3} = \frac{{0 - 1}}{3} = - \frac{1}{3}.\]