PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước Karofi. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán của một chiếc máy với số lượng máy bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là 5 triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được 100 chiếc. Khi giá bán là 4,5 triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được 120 chiếc. Biết chi phí trung bình cho một chiếc máy khi bán được \(x\) chiếc là \(\bar C(x) = \frac{{3x + 50}}{x}\). Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận thu được trong một tháng là lớn nhất?

Đáp số: 15

Để tìm đường ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt khối hộp, ta "trải" các mặt liên quan lên cùng một mặt phẳng sao cho đường nối hai điểm là một đường thẳng.

Trường hợp 1: Bò qua trần nhà (Lộ trình phổ biến nhất)

Khoảng cách theo phương ngang (tổng độ cao từ A lên trần + chiều rộng trần + từ trần xuống B):\({d_1} = 3{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 4{\rm{m}} = 15{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương dọc (chênh lệch vị trí so với tường trước):\({d_2} = |9{\rm{m}} - 7{\rm{m}}| = 2{\rm{m}}\).

Độ dài quãng đường \({L_1}\):\({L_1} = \sqrt {{{15}^2} + {2^2}}  = \sqrt {225 + 4}  = \sqrt {229}  \approx 15,13{\rm{m}}\).

Trường hợp 2: Bò vòng qua bức tường phía sau

Khoảng cách từ A đến tường sau là \(12 - 7 = 5{\rm{m}}\).

Khoảng cách từ B đến tường sau là \(12 - 9 = 3{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương ngang (vòng qua tường sau):\({d_1} = 5{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 3{\rm{m}} = 16{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương đứng (chênh lệch độ cao so với trần):\({d_2} = |4{\rm{m}} - 3{\rm{m}}| = 1{\rm{m}}\).

Độ dài quãng đường \({L_2}\):\({L_2} = \sqrt {{{16}^2} + {1^2}}  = \sqrt {256 + 1}  = \sqrt {257}  \approx 16,03{\rm{m}}\).

Trường hợp 3: Bò vòng qua bức tường phía trước

Khoảng cách theo phương ngang: \({d_1} = 7{\rm{m}} + 8{\rm{m}} + 9{\rm{m}} = 24{\rm{m}}\).

Khoảng cách theo phương đứng: \({d_2} = |4{\rm{m}} - 3{\rm{m}}| = 1{\rm{m}}\).

Độ dài quãng đường \({L_3}\):\({L_3} = \sqrt {{{24}^2} + {1^2}}  = \sqrt {577}  \approx 24,02{\rm{m}}\).

Kết luận: So sánh các kết quả: \(15,13 < 16,03 < 24,02\).Vậy quãng đường ngắn nhất là \(\sqrt {229}  \approx 15,13{\rm{m}}\).

Đáp án: 7,11.

Trong hệ tọa độ \(Oxy\) chứa đường elip có hai trục \(AB,CD\) ta có phương trình đường elip là đường viền chân núi là \(\frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{100}^2}}} = 1\)

Trong mặt phẳng chứa đường tròn đường kính \(AB\) vuông góc với mặt đất thì phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} = {200^2}\).

Trong mặt phẳng vuông góc với \(AB\) cắt ngọn núi theo mặt cắt có dạng parabol thì diện tích mặt cắt được tính theo công thức \(S = \frac{2}{3}h.D\).

Trong đó \(h\left( x \right) = \sqrt {{{200}^2} - {x^2}} \), \(D = 2.100\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}}  = 200\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)

Vậy diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{2}{3}.\sqrt {{{200}^2} - {x^2}} .200.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)\( = \frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}\)

Khi đó thể tích ngọn núi bằng \(V = \int\limits_{ - 200}^{200} {S\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 200}^{200} {\frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}dx} } \)\( \approx 7,11\)(triệu \({m^3}\))