Một hòn đảo A cách bờ biển \(3km\) và cách trạm điện B \(5km\). Công ty điện lực dự định làm một tuyến đường điện từ trạm B dọc theo bờ biển đến một điểm C, sau đó từ C nối thẳng ra đảo A (tham khảo hình vẽ). Biết chi phí cho \(1km\) đường điện trên bờ là \(30\) triệu đồng và trên biển là \(50\) triệu đồng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu triệu đồng để hoàn thành kế hoạch trên?

Đáp án: 5,25.

Gọi \(x\) là số lượng máy bán được trong một tháng và \(p\) là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: \(p = ax + b\).

Theo bài ra:

Khi \(p = 5\) thì \(x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5\) (1)

Khi \(p = 4,5\) thì \(x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4,5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(a =  - 0,025\), \(b = 7,5\).

Vậy hàm cầu là: \(p =  - 0,025x + 7,5\).

Thiết lập hàm lợi nhuận \(L(x)\):

Doanh thu: \(R(x) = p \cdot x = ( - 0,025x + 7,5)x =  - 0,025{x^2} + 7,5x\).

Tổng chi phí: \(C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50\).

Lợi nhuận: \(L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,025{x^2} + 7,5x) - (3x + 50) =  - 0,025{x^2} + 4,5x - 50\).

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{{4,5}}{{2.\left( { - 0,025} \right)}} = 90\).

Khi đó giá bán tương ứng là \(p =  - 0,025.90 + 7,5 = 5,25\)(triệu đồng/chiếc).

a) Vận tốc của ô tô kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là \(v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}\)\(v(t) = \int a (t)dt = \int  -  2dt =  - 2t + C\)

Thay \(t = 0\) và \(v(0) = 25\) vào phương trình, ta có:\( - 2(0) + C = 25 \Rightarrow C = 25\)

Phương trình vận tốc theo thời gian của ô tô là \(v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}\) ĐÚNG.

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là 9 giây.

Ta có: \(25 - 2t = \frac{{25}}{3} \Rightarrow 2t = \frac{{50}}{3} \Rightarrow t = \frac{{25}}{3} \approx 8.33{\rm{ s}}\).

Vì \(8.33 \ne 9\) SAI.

c) Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là \(139{\rm{ m}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Quãng đường là tích phân của vận tốc trên đoạn \([0;\frac{{25}}{3}]\).

\(S = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = 138.89{\rm{ m}}\)

ĐÚNG.

d) Khi giảm về tốc độ 30km/h, khoảng cách giữa xe và trạm thu phí là \(161{\rm{ m}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giai đoạn đầu:  \({S_1} = \int_0^4 2 5dt = 100\)

Giai đoạn sau, xe bắt đầu hãm phanh:

\({S_2} = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = \frac{{1250}}{9}\)

Tổng quãng đường xe thực tế đã di chuyển là \(S = {S_1} + {S_2} = 100 + 138,89 = 238,89\) m

Khoảng cách ban đầu từ xe đến trạm thu phí là 400 m, do đó khoảng cách còn lại sẽ là \(400 - 238,89 = 161,11\) m.

ĐÚNG.